《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

8 (2025南通如皋期中)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 12$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，$D$是边$BC$上的任意一点，则$AD$的长不可能是 （A）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
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答案： A

9 (新考法)(2025宿迁泗洪期中)如图，在边长为2的等边三角形$ABC$中，点$D$在边$BC$上运动(不与点$B$，$C$重合)，点$E$在边$AB$的延长线上，点$F$在边$AC$的延长线上，$AD = DE = DF$，点$D$在边$BC$上从点$B$至点$C$的运动过程中，$\triangle BED$周长变化规律为 （D）

A. 不变
B. 一直变小
C. 先变大后变小
D. 先变小后变大

答案： D

10 如图，$\triangle ABC$是等边三角形，$D$是边$BC$上任意一点，$DE\perp AB$于点$E$，$DF\perp AC$于点$F$. 若$BC = 4$，则$BE + CF =$2.

答案： 2

11 如图，$\angle MON = 30^{\circ}$，点$A_{1}$，$A_{2}$，$A_{3}$，$\cdots$在射线$ON$上，点$B_{1}$，$B_{2}$，$B_{3}$，$\cdots$在射线$OM$上，$\triangle A_{1}B_{1}A_{2}$，$\triangle A_{2}B_{2}A_{3}$，$\triangle A_{3}B_{3}A_{4}$，$\cdots$均为等边三角形. 若$OA_{1} = 1$，则$\triangle A_{n}B_{n}A_{n + 1}$的边长为______$2^{n - 1}$.

答案： $2^{n - 1}$

12 如图，点$A$，$B$，$C$在同一直线上，$\triangle ABD$，$\triangle BCE$都是等边三角形.
(1) 求证：$AE = CD$；
(2) 若$M$，$N$分别是$AE$，$CD$的中点，试判断$\triangle BMN$的形状，并证明你的结论.
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答案：
(1) 证明:因为$\triangle ABD$，$\triangle BCE$都是等边三角形，所以$AB = BD$，$BC = BE$，$\angle ABD = \angle CBE = 60^{\circ}$，所以$\angle ABD + \angle DBE = \angle DBE + \angle CBE$，即$\angle ABE = \angle DBC$。在$\triangle ABE$和$\triangle DBC$中，$\begin{cases}AB = DB\\\angle ABE = \angle DBC\\BE = BC\end{cases}$，所以$\triangle ABE \cong \triangle DBC(SAS)$，所以$AE = CD$。
(2) 解:$\triangle BMN$是等边三角形，理由如下:因为$\triangle ABE \cong \triangle DBC$，所以$\angle BAE = \angle BDC$。因为$AE = CD$，$M$，$N$分别是$AE$，$CD$的中点，所以$AM = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{2}CD = DN$。在$\triangle ABM$和$\triangle DBN$中，$\begin{cases}AB = DB\\\angle BAM = \angle BDN\\AM = DN\end{cases}$，所以$\triangle ABM \cong \triangle DBN(SAS)$，所以$BM = BN$，$\angle ABM = \angle DBN$，所以$\angle DBM + \angle DBN = \angle DBM + \angle ABM = \angle ABD = 60^{\circ}$，即$\angle MBN = 60^{\circ}$，所以$\triangle BMN$是等边三角形。

13 在等边三角形$ABC$中，点$E$在边$AB$上，点$D$在$CB$的延长线上，且$DE = EC$.
(1) 如图1，当$E$为$AB$的中点时，求证：$CB = 2BD$；
(2) 如图2，若$AB = 12$，$AE = 2$，求$CD$的长.

答案：

(1) 证明:因为$\triangle ABC$为等边三角形，所以$\angle ABC = \angle A = \angle ACB = 60^{\circ}$。因为$E$为$AB$的中点，所以$CE \perp AB$，$CE$是$\angle ACB$的平分线，所以$\angle BEC = 90^{\circ}$，$\angle BCE = 30^{\circ}$，所以$2EB = BC$。因为$ED = EC$，所以$\angle EDC = \angle ECD = 30^{\circ}$，所以$\angle DEB = \angle ABC - \angle EDC = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$，所以$BD = BE$，所以$2BD = BC$。
(2) 解:如图, 过点$E$作$EF // BC$，交$AC$于点$F$。因为$\triangle ABC$为等边三角形，所以$\angle A = \angle AFE = \angle ACB = \angle ABC = 60^{\circ}$，所以$\triangle AEF$为等边三角形，所以$\angle EFC = \angle EBD = 120^{\circ}$，$EF = AE$。因为$ED = EC$，所以$\angle EDB = \angle ECB$，$\angle ECB = \angle FEC$，所以$\angle EDB = \angle FEC$。在$\triangle BDE$和$\triangle FEC$中，$\begin{cases}\angle EBD = \angle CFE\\\angle EDB = \angle CEF\\ED = CE\end{cases}$，所以$\triangle BDE \cong \triangle FEC(AAS)$，所以$BD = EF$，所以$AE = BD = 2$，所以$CD = BC + BD = 12 + 2 = 14$。