《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

1 如图，已知$AB=AE$，$∠BAF=∠EAF$，$AF⊥CD$，且$F$为$CD$的中点。求证：$BC=ED$。
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答案： 证明:连接AC,AD.
因为F为CD的中点,所以CF=DF.
因为AF⊥CD,所以∠AFC=∠AFD=90°.
在△ACF和△ADF中,{AF=AF,∠AFC=∠AFD,CF=DF,
所以△ACF≌△ADF(SAS),
所以AC=AD,∠CAF=∠DAF.
因为∠BAF=∠BAC+∠CAF,∠EAF=∠EAD+∠DAF,且∠BAF=∠EAF,
所以∠BAC=∠EAD.
在△BAC和△EAD中,{AB=AE,∠BAC=∠EAD,AC=AD,
所以△BAC≌△EAD(SAS),所以BC=ED.

2 如图，$AD$是$△ABC$的中线，点$E$在$BC$的延长线上，$CE=AB$，$∠BAC=∠BCA$。求证：$AE=2AD$。
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答案： 证明:延长AD至点M,使DM=AD,连接MC.
因为AD是△ABC的中线,所以DB=DC.
在△ABD和△MCD中,{BD=CD,∠ADB=∠MDC,AD=MD,
所以△ABD≌△MCD(SAS),
所以AB=MC,∠B=∠MCD.
因为AB=CE,所以CM=CE.
因为∠BAC=∠BCA,
所以∠B+∠BAC=∠MCD+∠BCA,
即∠ACE=∠ACM.
在△ACE和△ACM中,{AC=AC,∠ACE=∠ACM,CE=CM,
所以△ACE≌△ACM(SAS),所以AE=AM.
因为AM=2AD,所以AE=2AD.

3 如图，在$△AOB$中，$OA=OB$，$∠AOB=90^{\circ}$，$BD$平分$∠ABO$交$OA$于点$D$，$AE⊥BD$于点$E$。求证：$BD=2AE$。
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答案： 证明:延长BO,与AE的延长线交于点F.
因为BD平分∠ABO,AE⊥BD,
所以∠1=∠2,∠AEB=∠FEB=90°.
在△ABE和△FBE中,{∠1=∠2,BE=BE,∠AEB=∠FEB,
所以△ABE≌△FBE(ASA),所以AE=FE.
因为∠AOB=90°,∠AED=90°,∠ADE=∠BDO,
所以∠2=∠OAF.
因为∠AOB=90°,所以∠DOB=∠FOA=90°.
在△OBD和△OAF中,{∠2=∠OAF,BO=AO,∠BOD=∠AOF,
所以△OBD≌△OAF(ASA),所以BD=AF.
因为AE=EF,所以BD=2AE.