《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

5 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 120^{\circ}$，$AD\perp BC$，垂足为$D$，且$AB + BD = DC$，求$\angle C$的大小。（用两种方法）
!

答案： 解:方法一(截长法):在DC上截取$DE=BD$,连接AE.
因为$AD⊥BC$,所以$∠ADB=∠ADE=90^{\circ }$.
在$\triangle ABD$和$\triangle AED$中,$\left\{\begin{array}{l} AD=AD,\\ ∠ADB=∠ADE,\\ DB=DE,\end{array}\right. $
所以$\triangle ABD\cong \triangle AED(SAS)$,
所以$AB=AE,∠B=∠AEB$.
又$AB+BD=CD,DE=BD$,所以$AB+DE=CD$.
因为$CD=DE+EC$,所以$AB=EC$,所以$AE=EC$.
设$∠EAC=∠C=x$.
因为$∠AEB$为$\triangle AEC$的外角,
所以$∠AEB=∠EAC+∠C=2x$,
所以$∠B=2x,∠BAE=180^{\circ }-2x-2x=180^{\circ }-4x$.
因为$∠BAC=120^{\circ }$,所以$∠BAE+∠EAC=120^{\circ }$,
即$180^{\circ }-4x+x=120^{\circ }$,解得$x=20^{\circ }$,
则$∠C=20^{\circ }$.
方法二(补短法):延长DB至点F,使$BF=AB$,连接AF,
则$AB+BD=DF=CD$,
所以$AF=AC,∠C=∠F=\frac {1}{2}∠ABC$.
设$∠C=∠F=∠FAB=y$,所以$∠ABC=2y$,
所以$2y+y=180^{\circ }-120^{\circ }$,
解得$y=20^{\circ }$,所以$∠C=20^{\circ }$.

6 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 2\angle A$，$BD$平分$\angle ABC$交$AC$于点$D$，求证：$AB = CD + BC$。（用两种方法）
!

答案： 证明:方法一(截长法):在AB上取$BE=BC$,连接DE.
因为BD平分$∠ABC$交AC于点D,
所以$∠CBD=∠EBD$.
在$\triangle CBD$和$\triangle EBD$中,$\left\{\begin{array}{l} BC=BE,\\ ∠CBD=∠EBD,\\ BD=BD,\end{array}\right. $
所以$\triangle CBD\cong \triangle EBD(SAS)$,所以$CD=ED,∠C=∠BED$.
因为$∠C=2∠A$,所以$∠BED=2∠A$.
因为$∠BED=∠A+∠ADE$,所以$∠A=∠ADE$,
所以$AE=DE$,所以$AE=CD$.
因为$AB=AE+BE$,所以$AB=CD+BC$.
方法二(补短法):延长BC至点F,使$CF=CD$,连接DF,
则$∠F=∠CDF$.
因为$∠ACB=∠F+∠CDF$,所以$∠ACB=2∠F$.
因为$∠ACB=2∠A$,所以$∠A=∠F$.
在$\triangle ABD$和$\triangle FBD$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠F,\\ ∠ABD=∠FBD,\\ BD=BD,\end{array}\right. $
所以$\triangle ABD\cong \triangle FBD(AAS)$,所以$AB=FB$.
因为$BF=BC+CF$,所以$BF=BC+CD$,
所以$AB=BC+CD$.

7 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 108^{\circ}$，$AB = AC$，$BD$平分$\angle ABC$，交$AC$于点$D$，求证：$BC = CD + AB$。（用两种方法）
!

答案： 证明:方法一(截长法):在BC上取点E使$BE=BA$,连接DE.
因为BD平分$∠ABC$,所以$∠ABD=∠EBD$.
在$\triangle ABD$和$\triangle EBD$中,$\left\{\begin{array}{l} AB=EB,\\ ∠ABD=∠EBD,\\ BD=BD,\end{array}\right. $
所以$\triangle ABD\cong \triangle EBD(SAS)$,
所以$∠BAC=∠BED=108^{\circ }$,所以$∠DEC=72^{\circ }$.
因为$AB=AC$,所以$∠C=∠ABC=36^{\circ }$,
所以$∠CDE=72^{\circ }$,所以$∠CDE=∠CED=72^{\circ }$,
所以$CD=CE$,所以$BC=EC+BE=CD+AB$.
方法二(补短法):延长BA至点F,使$BF=BC$,连接DF.
因为BD平分$∠ABC$,所以$∠FBD=∠CBD$.
在$\triangle FBD$和$\triangle CBD$中,$\left\{\begin{array}{l} FB=CB,\\ ∠FBD=∠CBD,\\ BD=BD,\end{array}\right. $
所以$\triangle FBD\cong \triangle CBD(SAS)$,
所以$DF=DC,∠F=∠C$.
因为$∠BAC=108^{\circ },AB=AC$,
所以$∠ABC=∠C=∠F=36^{\circ },∠FAD=72^{\circ }$,
所以$∠FDA=∠FAD=72^{\circ }$,
所以$FA=FD$,所以$CD=DF=AF$,
所以$BC=BF=AF+AB=CD+AB$.

8 如图，在$\triangle ABC$中，$AC = BC$，$\angle C = 100^{\circ}$，$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于点$D$，$E$为$AB$上的一点，且$\angle EDB = \angle B$。求证：$AB = AD + CD$。
!

答案： 证明:因为AD平分$∠BAC,AC=BC,∠C=100^{\circ }$,
所以$∠DAE=∠DAC=20^{\circ },∠B=∠EDB=40^{\circ }$,
所以$∠DEA=∠B+∠EDB=80^{\circ }$,
所以$∠ADE=180^{\circ }-80^{\circ }-20^{\circ }=80^{\circ }$,所以$AD=AE$.
过点D作$DF⊥AC$于点F,作$DH⊥AB$于点H,
所以$DF=DH$.
在$\triangle CDF$和$\triangle EDH$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠DFC=∠DHE=90^{\circ },\\ ∠DCF=∠DEH=80^{\circ },\\ DF=DH,\end{array}\right. $
所以$\triangle CDF\cong \triangle EDH(AAS)$,
所以$CD=ED$.
因为$∠B=∠EDB$,所以$ED=BE$,
所以$CD=BE$,
所以$AB=AE+BE=AD+CD$.