《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

8 如图,直线m,n相交于点B,m,n的夹角为$ 50 ^ { \circ } $,A是直线m上的点,在直线n上寻找一点C,使$ \triangle A B C $是等腰三角形,这样的点C有 (D)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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答案： D

9 如图,在$ \triangle A B C $中,$ \angle A B C $和$ \angle A C B $的平分线交于点E,过点E作$ M N // B C $交AB于点M,交AC于点N,若$ B M + C N = 8 $,则线段MN的长为8.

答案： 8

10 (2025南通启东期中)如图,D为$ \triangle A B C $内一点,CD平分$ \angle A C B , B E \perp C D $,垂足为D,交AC于点E,若$ \angle A = \angle A B E , A C = 10 , B C = 6 $,则BD的长为2.

答案： 2

11 如图,在$ \triangle A B C $中,$ B C = 8 \mathrm { cm } , B P , C P $分别是$ \angle A B C $和$ \angle A C B $的平分线,且$ P D // A B , P E // A C $.
(1) 求$ \triangle P D E $的周长;
(2) 若$ \angle A = 50 ^ { \circ } $,求$ \angle B P C $的度数.
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答案： 解：（1）因为 BP，CP 分别是$∠ABC$和$∠ACB$的平分线，
所以$∠ABP = ∠PBD$，$∠ACP = ∠PCE$。
因为$PD// AB$，$PE// AC$，
所以$∠ABP = ∠BPD$，$∠ACP = ∠CPE$，
所以$∠PBD = ∠BPD$，$∠PCE = ∠CPE$，
所以$BD = PD$，$CE = PE$，
所以$\triangle PDE$的周长$= PD + DE + PE = BD + DE + EC = BC = 8cm$。
（2）因为$∠A = 50^{\circ}$，
所以$∠ABC + ∠ACB = 130^{\circ}$，
所以$\frac{1}{2}∠ABC + \frac{1}{2}∠ACB = 65^{\circ}$。
因为 BP，CP 分别是$∠ABC$和$∠ACB$的平分线，
所以$∠PBC = \frac{1}{2}∠ABC$，$∠PCB = \frac{1}{2}∠ACB$，
所以$∠PBC + ∠PCB = 65^{\circ}$，
所以$∠BPC = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ}$。

12 (新考法)(2025南通通州月考)在$ \triangle A B C $中,$ A B = A C $,D是边AB上一点,$ \angle B C D = \angle A $.
(1) 如图1,求证:$ C D = C B $;
(2) 如图2,过点B作$ B E \perp A C $,垂足为E,BE与CD相交于点F.
①求证:$ \angle B C D = 2 \angle C B E $;
②如果$ \triangle B D F $是等腰三角形,求$ \angle A $的度数.
!!!

答案： （1）证明：因为$AB = AC$，
所以$∠ABC = ∠ACB$。
因为$∠BDC$是$\triangle ADC$的一个外角，
所以$∠BDC = ∠A + ∠ACD$。
因为$∠ACB = ∠BCD + ∠ACD$，$∠BCD = ∠A$，
所以$∠BDC = ∠ACB$，
所以$∠ABC = ∠BDC$。
所以$CD = CB$。
（2）①证明：因为$BE⊥AC$，
所以$∠BEC = 90^{\circ}$，
所以$∠CBE + ∠ACB = 90^{\circ}$。
设$∠CBE = \alpha$，则$∠ACB = 90^{\circ} - \alpha$，
所以$∠ACB = ∠ABC = ∠BDC = 90^{\circ} - \alpha$，
所以$∠BCD = 180^{\circ} - ∠BDC - ∠ABC = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \alpha) - (90^{\circ} - \alpha) = 2\alpha$，
所以$∠BCD = 2∠CBE$。
②解：因为$∠BFD$是$\triangle CBF$的一个外角，
所以$∠BFD = ∠CBE + ∠BCD = \alpha + 2\alpha = 3\alpha$。
当$BD = BF$时，$∠BDC = ∠BFD = 3\alpha$，
因为$∠ACB = ∠ABC = ∠BDC = 90^{\circ} - \alpha$，
所以$90^{\circ} - \alpha = 3\alpha$，
所以$\alpha = 22.5^{\circ}$，
所以$∠A = ∠BCD = 2\alpha = 45^{\circ}$；
当$DB = DF$时，$∠DBE = ∠BFD = 3\alpha$，
因为$∠DBE = ∠ABC - ∠CBE = 90^{\circ} - \alpha - \alpha = 90^{\circ} - 2\alpha$，
所以$90^{\circ} - 2\alpha = 3\alpha$，
所以$\alpha = 18^{\circ}$，
所以$∠A = ∠BCD = 2\alpha = 36^{\circ}$；
当$FB = FD$时，$∠DBE = ∠BDF$，
因为$∠BDF = ∠ABC ＞ ∠DBF$，
所以不存在$FB = FD$。
综上，$∠A$的度数为$45^{\circ}$或$36^{\circ}$。