《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

11 若一个自然数的算术平方根是 x,则比这个自然数大 2 的自然数的算术平方根是 (C)
A. $x^2+2$
B. $x+2$
C. $\sqrt{x^2+2}$
D. $\sqrt{x+2}$

答案： C

12 若$3 x^5 y^n$与$-2 x^m y$的和是单项式,则$(m-n)^2$的算术平方根是 (C)
A. 2
B. $\pm 2$
C. 4
D. $\pm 4$

答案： C

13 (2024 泰州靖江期中)$\sqrt{81}$的算术平方根是3.

答案： 3

14 (2024 南通海安月考)已知$\sqrt{123} \approx 11.09, \sqrt{1230} \approx 35.07$,那么$\sqrt{12.3} \approx$3.507.

答案： 3.507

15 (新定义)(2025 南通如皋月考)已知 a,b 均为正整数,如果$0＜\sqrt{a}-b＜1$,我们称 b 是$\sqrt{a}$的“主要值”,那么$\sqrt{65}$的主要值是8.

答案： 8

16 (新情境)(2024 盐城期中)“欲穷千里目,更上一层楼”,说的是登得高看得远,如图,若观测点的高度为 h(单位:km),观测者能看到地面的最远距离为 d(单位:km),则$d \approx \sqrt{2 h R}$,其中 R是地球半径,通常取 6400 km. 小亮站在大洋湾景区望海楼俯瞰美景,眼睛离地面的高度 h 为0.02 km,求此时他能观测到地面的最远距离.
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答案： 解：由 $R = 6400$ km，$h = 0.02$ km，得 $d \approx \sqrt{2 × 0.02 × 6400} = 16$ (km).
答：此时观测者能看到的最远距离 $d$ 约是 16 km.

(1) 请直接判断 3,12,16 是不是“和谐组合”:不是;
(2) 请证明 2,8,18 这三个数是“和谐组合”,并求出最小算术平方根和最大算术平方根;
证明：因为 $\sqrt{2 × 18} = 6$，$\sqrt{2 × 8} = 4$，$\sqrt{18 × 8} = 12$，所以 2，8，18 这三个数是“和谐组合”，其中最小算术平方根是 4，最大算术平方根是 12.
(3) 已知 4,a,25 三个数是“和谐组合”,且最大算术平方根是最小算术平方根的 5 倍,求 a 的值.
解：①当 $4 \leq a \leq 25$ 时，$\sqrt{25a} = 5\sqrt{4a}$，得 $a = 0$ (舍去)；②当 $a \leq 4 ＜ 25$ 时，$\sqrt{4 × 25} = 5\sqrt{4a}$，得 $a = 1$，经检验符合题意；③当 $4 ＜ 25 \leq a$ 时，$\sqrt{25a} = 5\sqrt{4 × 25}$，得 $a = 100$，经检验符合题意.综上所述，$a$ 的值为 1 或 100.

答案：
(1) 3，12，32 不是“和谐组合”.
(2) 证明：因为 $\sqrt{2 × 18} = 6$，$\sqrt{2 × 8} = 4$，$\sqrt{18 × 8} = 12$，
所以 2，8，18 这三个数是“和谐组合”，
其中最小算术平方根是 4，最大算术平方根是 12.
(3) 解：①当 $4 \leq a \leq 25$ 时，$\sqrt{25a} = 5\sqrt{4a}$，得 $a = 0$ (舍去)；
②当 $a \leq 4 ＜ 25$ 时，$\sqrt{4 × 25} = 5\sqrt{4a}$，得 $a = 1$，经检验符合题意；
③当 $4 ＜ 25 \leq a$ 时，$\sqrt{25a} = 5\sqrt{4 × 25}$，得 $a = 100$，经检验符合题意.
综上所述，$a$ 的值为 1 或 100.