《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

7 (2025无锡新吴期中)如图,若△ABC的三条角平分线AD,BE,CF相交于点G,则与$ ∠FAG $互余的角是 (C)
A. $ ∠CGD $ B. $ ∠AGE $ C. $ ∠EGC $ D. $ ∠AFG $
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答案： C

8 (2024徐州期中)如图,$ ∠MON = 90^\circ $,点A,B分别在射线OM,ON上运动,BE平分$ ∠NBA $,BE的反向延长线与$ ∠BAO $的平分线交于点C,$ ∠BAO = 45^\circ $,则$ ∠C = $$45^{\circ}$.

答案： $45^{\circ}$

9 (2025扬州邗江月考)如图,在△ABC中,已知D,E,F分别为线段BC,AD,CE的中点,且$ S_{△ABC} = 4 \text{ cm}^2 $,则$ S_{阴影} = $1$ \text{cm}^2 $.

答案： 1

10 (2024淮安清江浦期末)三角形的中线、角平分线、高是三角形的重要线段,我们知道,三角形的3条高所在直线交于同一点.请应用这个结论解决以下问题:
(1) 如图1,在△ABC中,$ ∠A = 90^\circ $,则△ABC的三条高所在的直线交于点______;
(2) 请仅用无刻度直尺按要求画图,不写画法,保留画图痕迹(用虚线表示画图过程,实线表示画图结果).
①如图2,在△ABC中,$ ∠ACB ＞ 90^\circ $,已知两条高CD,AE,请你画出△ABC的第三条高BF;
②如图3,在给定的正方形网格中,△ABC的三个顶点均为格点,请你画出△ABC的高BH.

答案：
解：
(1) A
(2) ①如图1，$BF$即为所求.
②如图2，$BH$即为所求.

11 新考法 (2024无锡惠山期中)如图,在△ABC中,$ ∠BAC = \alpha (0^\circ ＜ \alpha ＜ 180^\circ) $,$ BD ⊥ AC $于点D,$ CE ⊥ AB $于点E,BD,CE所在直线相交于点F.
(1) 当$ ∠BAC = 45^\circ $时,求$ ∠BFC $的度数;
(2) 若$ ∠BFC, ∠BAC $这两个角中,有一个角是另一个角的2倍,求α的值;
(3) 若$ ∠ABD $的平分线与$ ∠ACE $的平分线交于点G,则$ ∠BGC $的度数是否是一个定值? 如果是,求出这个定值;如果不是,请说明理由.
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答案： 【解析】：
### $(1)$ 求$\angle BFC$的度数
已知$BD\perp AC$，$CE\perp AB$，所以$\angle ADF = \angle AEF = 90^{\circ}$。
在四边形$AEFD$中，根据四边形内角和为$360^{\circ}$，可得$\angle EFD + \angle BAC=360^{\circ}-\angle ADF - \angle AEF = 360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}=180^{\circ}$。
因为$\angle BFC$与$\angle EFD$是对顶角，所以$\angle BFC+\angle BAC = 180^{\circ}$。
当$\angle BAC = 45^{\circ}$时，$\angle BFC=180^{\circ}-\angle BAC = 180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$。
### $(2)$ 求$\alpha$的值
由$(1)$知$\angle BFC+\angle BAC = 180^{\circ}$，即$\angle BFC = 180^{\circ}-\alpha$。
已知$\angle BFC$，$\angle BAC$这两个角中，有一个角是另一个角的$2$倍，则分两种情况讨论：
当$\angle BFC = 2\angle BAC$时，$180^{\circ}-\alpha=2\alpha$，
移项可得$2\alpha+\alpha=180^{\circ}$，
即$3\alpha=180^{\circ}$，
解得$\alpha = 60^{\circ}$。
当$\angle BAC = 2\angle BFC$时，$\alpha=2(180^{\circ}-\alpha)$，
去括号得$\alpha = 360^{\circ}-2\alpha$，
移项可得$\alpha + 2\alpha=360^{\circ}$，
即$3\alpha=360^{\circ}$，
解得$\alpha = 120^{\circ}$。
综上，$\alpha$的值为$60^{\circ}$或$120^{\circ}$。
### $(3)$ 判断$\angle BGC$的度数是否为定值
设$\angle ABG=\angle GBD = x$，$\angle ACG=\angle GCE = y$。
在$\triangle ABF$中，$\angle AFB = 180^{\circ}-2x-\angle BAC$，又因为$\angle AFB=\angle BFC = 180^{\circ}-\angle BAC$（对顶角相等且由$(1)$知$\angle BFC+\angle BAC = 180^{\circ}$）。
在$\triangle BGC$中，$\angle BGC = 180^{\circ}-x - y-\angle FBC-\angle FCB$。
因为$\angle FBC = 90^{\circ}-\angle BAC$，$\angle FCB = 90^{\circ}-\angle BAC$，且$2x + 2y+\angle BAC= 180^{\circ}$（$\angle ABD + \angle ACE+\angle BAC=180^{\circ}$），即$x + y=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC$。
$\angle BGC=180^{\circ}-(x + y)- (90^{\circ}-\angle BAC)$，
将$x + y=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC$代入可得：
$\angle BGC=180^{\circ}-(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC)-(90^{\circ}-\angle BAC)$
$=180^{\circ}-90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC - 90^{\circ}+\angle BAC$
$=\frac{3}{2}\angle BAC$。
又因为$\angle BFC+\angle BAC = 180^{\circ}$，$\angle BGC = 180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle FBC+\angle FCB)$，$\angle FBC = 90^{\circ}-\angle BAC$，$\angle FCB = 90^{\circ}-\angle BAC$，
$\angle BGC=180^{\circ}-\frac{1}{2}[(90^{\circ}-\angle BAC)+(90^{\circ}-\angle BAC)]$
$=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\angle BAC)$
$=180^{\circ}-90^{\circ}+\angle BAC$
$=90^{\circ}+\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BFC)$，再由$\angle BFC+\angle BAC = 180^{\circ}$，可得$\angle BGC = 90^{\circ}$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{135^{\circ}}$；
$(2)$$\boldsymbol{60^{\circ}}$或$\boldsymbol{120^{\circ}}$；
$(3)$是，$\boldsymbol{90^{\circ}}$。