《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

11 (1)【模型建立】
如图1,在等腰直角三角形$ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$CB=CA$,直线$ED$经过点$C$,过点$A$作$AD\perp ED$于点$D$,过点$B$作$BE\perp ED$于点$E$.求证:$\triangle BEC\cong \triangle CDA$;
(2)【模型应用】
①已知直线$l_{1}:y=\frac{4}{3}x+4$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,将直线$l_{1}$绕点$A$按逆时针方向旋转$45^{\circ}$至直线$l_{2}$,如图2,求直线$l_{2}$的函数表达式;
②如图3,在平面直角坐标系中,点$B(8,6)$,作$BA\perp y$轴于点$A$,作$BC\perp x$轴于点$C$,$P$是线段$BC$上的一个动点,$Q$是直线$y=2x-6$上的动点且在第一象限内.问点$A$,$P$,$Q$能否构成以$Q$为直角顶点的等腰直角三角形,若能,请直接写出此时点$Q$的坐标;若不能,请说明理由.
!
!
!

答案：
解：
(1) 因为△ABC为等腰直角三角形，
所以CB = CA，∠ACD + ∠BCE = 180° - 90° = 90°。
又因为AD⊥CD，BE⊥EC，
所以∠D = ∠E = 90°。
又因为∠CBE + ∠BCE = 90°，
所以∠ACD = ∠CBE。
在△ACD与△CBE中，$\begin{cases}∠D = ∠E\\∠ACD = ∠CBE\\CA = BC\end{cases}$
所以△BEC≌△CDA(AAS)。
(2) ①如图，过点B作BC⊥AB交l₂于点C，过点C作CD⊥y轴于点D。
因为∠BAC = 45°，
所以△ABC为等腰直角三角形。
由
(1)可知，△CBD≌△BAO，
所以BD = AO，CD = BO。
因为直线l₁:y = $\frac{4}{3}x + 4$，
令y = 0，则x = - 3，
所以A( - 3,0)；
令x = 0，则y = 4，
所以B(0,4)，
所以BD = AO = 3，CD = OB = 4，
所以OD = 4 + 3 = 7，
所以C( - 4,7)。
设直线l₂的函数表达式为y = kx + b。
将点A( - 3,0)，C( - 4,7)代入y = kx + b中，
得$\begin{cases}0 = - 3k + b\\7 = - 4k + b\end{cases}$
解得k = - 7，b = - 21，
所以直线l₂的函数表达式为y = - 7x - 21。

②Q(4,2)或($\frac{20}{3}$,$\frac{22}{3}$)。

12 若一次函数$y=a_{1}x+b_{1}(a_{1}\neq 0,a_{1},b_{1}$是常数)与$y=a_{2}x+b_{2}(a_{2}\neq 0,a_{2},b_{2}$是常数),满足$a_{1}+a_{2}=0$,且$b_{1}+b_{2}=0$,则称这两个函数是对称函数.
(1)当函数$y=mx-2$与$y=3x+n$是对称函数时,求$m$和$n$的值;
(2)在平面直角坐标系中,一次函数$y=-3x+5$的图象与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,点$C$与点$B$关于$x$轴对称,过点$A$,$C$的直线的表达式是$y=kx+b$,求证:函数$y=-3x+5$与$y=kx+b$是对称函数.

答案： 解：
(1) 因为函数y = mx - 2与y = 3x + n是对称函数，
所以$\begin{cases}m + 3 = 0\\ - 2 + n = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = - 3\\n = 2\end{cases}$。
(2) 对于一次函数y = - 3x + 5，
令x = 0，得y = 5；令y = 0，得x = $\frac{5}{3}$，
所以点A($\frac{5}{3}$,0)，B(0,5)。
因为点C与点B关于x轴对称，所以点C(0, - 5)。
将点A($\frac{5}{3}$,0)与C(0, - 5)的坐标代入y = kx + b，
得$\begin{cases}\frac{5}{3}k + b = 0\\b = - 5\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 3\\b = - 5\end{cases}$，
所以直线AC的表达式为y = 3x - 5。
因为 - 3 + 3 = 0，5 + ( - 5) = 0，
所以函数y = - 3x + 5与y = kx + b是对称函数。