《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

1 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，点$D$在$AB$上，点$E$在$AC$的延长线上，且$BD = CE$，连接$DE$交$BC$于点$F$，试说明$DF = EF$。
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答案：
证明:如图,过点D作$DG// AC$交BC于点G.
因为$AB=AC$,
所以$∠B=∠ACB$.
因为$DG// AC$,
所以$∠ACB=∠DGB,∠DGC=∠BCE$,
所以$∠DGB=∠B$,
所以$DG=DB=CE$.
在$\triangle DFG$和$\triangle EFC$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠DGF=∠ECF,\\ ∠DFG=∠EFC,\\ DG=EC,\end{array}\right. $
所以$\triangle DFG\cong \triangle EFC(AAS)$,
所以$DF=EF$.

2 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 3\angle C$，$AD$是$\angle BAC$的平分线，$BE\perp AD$，垂足为$E$。求证：$BE = \frac{1}{2}(AC - AB)$。
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答案：
证明:延长BE交AC于点F.
因为AD是$∠BAC$的平分线,
所以$∠BAD=∠CAD$.
因为$BE⊥AD$,
所以$∠AEB=∠AEF=90^{\circ }$,
在$\triangle BAE$和$\triangle FAE$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠BAE=∠FAE,\\ AE=AE,\\ ∠AEB=∠AEF,\end{array}\right. $
所以$\triangle BAE\cong \triangle FAE(ASA)$,
所以$BE=EF=\frac {1}{2}BF,AB=AF,∠ABF=∠AFB$.
因为$∠AFB=∠CBF+∠C$,
所以$∠ABF=∠CBF+∠C$,
因为$∠ABC=3∠C$,
所以$∠ABF+∠CBF=3∠C$,
所以$∠CBF+∠C+∠CBF=3∠C$,
所以$∠CBF=∠C$,
所以$FB=FC$,
所以$BE=\frac {1}{2}CF=\frac {1}{2}(AC-AF)=\frac {1}{2}(AC-AB)$,
所以$BE=\frac {1}{2}(AC-AB)$.

3 如图，在$\triangle ABC$中，$BC = AC$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BD$平分$\angle ABC$，$AE\perp BD$，交$BD$延长线于点$E$。
（1）求证：$\angle BAE = \angle ADE$；
（2）请写出$AE$与$BD$的数量关系，并说明理由。
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答案：

(1) 证明:因为BD平分$∠ABC$,
所以$∠CBD=∠ABD$.
因为$AE⊥BD$,
所以$∠AEB=90^{\circ }$.
又$∠ACB=90^{\circ },∠BDC=∠ADE$,
所以$∠CBD=∠DAE$,
所以$∠ABD=∠DAE$,
所以$∠ADE=∠BAE$.
(2) 解:$BD=2AE$. 理由如下:
延长AE交BC的延长线于点F,如图,
在$\triangle CBD$和$\triangle CAF$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠CBD=∠CAF,\\ CB=CA,\\ ∠BCD=∠ACF,\end{array}\right. $
所以$\triangle CBD\cong \triangle CAF(ASA)$,
所以$BD=AF$.
因为BD平分$∠ABC,BE⊥AF$,
所以$AE=EF$,
所以$BD=2AE$.

4 如图，$AD$是$\triangle ABC$的中线，点$E$在$AD$上，且$BE = AC$，求证：$\angle BED = \angle CAD$。
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答案：
证明:如图,延长AD到点F,使$DF=AD$,连接BF.
因为AD是$\triangle ABC$的中线,
所以$BD=DC$.
在$\triangle ADC$和$\triangle FDB$中,$\left\{\begin{array}{l} AD=FD,\\ ∠ADC=∠FDB,\\ CD=BD,\end{array}\right. $
所以$\triangle ADC\cong \triangle FDB(SAS)$,
所以$FB=AC,∠CAD=∠F$.
因为$BE=AC$,
所以$BE=BF$,
所以$∠F=∠BED$,
所以$∠BED=∠CAD$.