《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

9 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°.
(1) 若点D在边AB上,点E在边AC上,BD=CE,BE与CD交于点F.求证:BF=CF;
(2) 若D是边AB上的一个动点,E是边AC上的一个动点,且BD=CE,BE与CD交于点F.当△BFD是等腰三角形时,求∠FBD的度数.
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答案：
(1) 证明:因为AB = AC，所以∠ABC = ∠ACB。在△BCD和△CBE中，$\begin{cases}BC = CB\\\angle DBC = \angle ECB\\BD = CE\end{cases}$，所以△BCD≌△CBE(SAS)，所以∠FBC = ∠FCB，所以BF = CF。
(2) 解:因为AB = AC，∠BAC = 45°，所以∠ABC = ∠ACB = $\frac{1}{2}$(180° - ∠BAC) = 67.5°。由
(1)知，∠FBC = ∠FCB，所以∠DBF = ∠ECF，设∠FBD = ∠ECF = x，则∠FBC = ∠FCB = 67.5° - x，∠BDF = ∠ECF + ∠BAC = x + 45°，∠DFB = 2∠FBC = 2(67.5° - x) = 135° - 2x。因为△BFD是等腰三角形，所以分三种情况讨论:
①当BD = BF时，∠BDF = ∠DFB，所以x + 45° = 135° - 2x，得x = 30°，即∠FBD = 30°；
②当BD = DF时，∠FBD = ∠DFB，所以x = 135° - 2x，得x = 45°，即∠FBD = 45°；
③当BF = DF时，∠FBD = ∠FDB，所以x = x + 45°，不符合题意，舍去。
综上所述，∠FBD的度数为30°或45°。

10 如图,O是等边三角形ABC内的一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,D是△ABC外的一点,且△ADC≌△BOC,连接OD.
(1) 求证:△COD是等边三角形;
(2) 当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3) 若△AOD是等腰三角形,求角α的度数.
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答案：
(1) 证明:因为△ADC≌△BOC，所以DC = OC，∠DCA = ∠OCB，所以△COD是等腰三角形。因为△ABC为等边三角形，所以∠OCB + ∠ACO = ∠ACB = 60°，所以∠DCA + ∠ACO = ∠DCO = 60°，所以△COD是等边三角形。
(2) 解:当α = 150°时，△AOD是直角三角形。理由如下:因为△ADC≌△BOC，所以∠ADC = ∠BOC = 150°。又因为△COD是等边三角形，所以∠ODC = 60°，所以∠ADO = 90°，即△AOD是直角三角形。
(3) 解:因为△COD是等边三角形，所以∠DOC = 60°。
①当AO = AD时，∠AOD = ∠ADO。因为∠AOD = 360° - 110° - 60° - α = 190° - α，∠ADO = ∠ADC - ∠ODC = ∠BOC - ∠ODC = α - 60°，所以190° - α = α - 60°，所以α = 125°；
②当OA = OD时，∠OAD = ∠ADO。因为∠OAD = 180° - (∠AOD + ∠ADO) = 180° - (190° - α + α - 60°) = 50°，所以α - 60° = 50°，所以α = 110°；
③当AD = OD时，∠AOD = ∠OAD，所以190° - α = 50°，所以α = 140°。
综上所述，α为125°或110°或140°。

11 如图,在△ABC中,AD,BD分别平分∠CAG,∠EBA,AD//BC,BD交AC于点F,连接CD.
(1) 求证:AB=AC;
(2) 当∠EBA的大小满足什么条件时,以A,B,F为顶点的三角形为等腰三角形?
(3) 猜想∠BDC与∠DAC之间的数量关系,并说明理由.
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答案：
(1) 证明:因为AD平分∠GAC，所以∠GAD = ∠CAD。因为AD//BC，所以∠GAD = ∠ABC，∠ACB = ∠CAD，所以∠ABC = ∠ACB，所以AB = AC。
(2) 解:①AB与AF不可能相等；
②当AF = BF时，∠BAF = ∠ABF = $\frac{1}{2}$∠ABC，因为∠BAF + ∠ABC + ∠ACB = 180°，∠ABC = ∠ACB，所以$\frac{5}{2}$∠ABC = 180°，所以∠ABC = 72°；
③当AB = BF时，设∠ABF = ∠FBC = x，则∠ABC = ∠ACB = 2x，∠BAF = ∠BFA = 3x，所以2x + 2x + 3x = 180°，所以x = ($\frac{180}{7}$)°，所以∠EBA = 2x = ($\frac{360}{7}$)°。
综上所述，当∠EBA为72°或($\frac{360}{7}$)°时，△ABF为等腰三角形。
(3) 解:∠BDC + ∠DAC = 90°。理由如下:过点D作DM⊥BG于点M，DN⊥AC于点N，DH⊥BE于点H。因为AD，BD分别平分∠GAC，∠EBA，DM⊥BG，DN⊥AC，DH⊥BE，所以DM = DN，DM = DH，所以DH = DN。又DN⊥AC，DH⊥BE，所以CD平分∠ACH，所以∠DCH = $\frac{1}{2}$∠ACH，∠BDC = ∠DCH - ∠DBH = $\frac{1}{2}$∠ACH - $\frac{1}{2}$∠ABH = $\frac{1}{2}$(∠ACH - ∠ABH) = $\frac{1}{2}$∠BAC。又∠DAC = $\frac{180° - ∠BAC}{2}$ = 90° - $\frac{1}{2}$∠BAC，所以∠BDC + ∠DAC = 90°。