《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

10 (2025 南通月考)若 $ y $ 与 $ 2 x + 1 $ 成正比例,且当 $ x = - 2 $ 时,$ y = 6 $.
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式;
(2) 若点 $ ( m, 3 ) $ 在该函数的图象上,求 $ m $ 的值.

答案： 解：
(1) 设 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为 $ y = k(2x + 1) $，当 $ x = -2 $ 时，$ y = 6 $，代入，得 $ k[2×(-2) + 1] = 6 $，解得 $ k = -2 $，所以 $ y = -2(2x + 1) $，即 $ y = -4x - 2 $。
(2) 由题意可得 $ 3 = -4m - 2 $，解得 $ m = -\frac{5}{4} $。

11 (2024 南通海门月考)如图,直线 $ y = - 2 x + 6 $ 交 $ x $ 轴和 $ y $ 轴于点 $ A $ 和点 $ B $.
(1) 求点 $ A $ 和点 $ B $ 的坐标;
(2) 若 $ P $ 是直线 $ A B $ 上一点,$ S _ { \triangle O B P } = \frac { 1 } { 3 } S _ { \triangle A O B } $,求点 $ P $ 的坐标.
!

答案： 解：
(1) 在 $ y = -2x + 6 $ 中，当 $ x = 0 $ 时，$ y = 6 $；当 $ y = 0 $ 时，$ -2x + 6 = 0 $，解得 $ x = 3 $，所以 $ A(3, 0) $，$ B(0, 6) $。
(2) 由
(1)可得点 $ A(3, 0) $，$ B(0, 6) $，所以 $ OA = 3 $，$ OB = 6 $，所以 $ S_{△AOB} = \frac{1}{2}OA·OB = \frac{1}{2}×3×6 = 9 $。因为 $ S_{△OBP} = \frac{1}{3}S_{△AOB} $，所以 $ S_{△OBP} = \frac{1}{3}S_{△AOB} = 3 $。设点 $ P $ 的坐标为 $ (p, -2p + 6) $，所以 $ S_{△OBP} = \frac{1}{2}OB·|p| = 3 $，即 $ \frac{1}{2}×6×|p| = 3 $，解得 $ p = 1 $ 或 $ p = -1 $，当 $ p = 1 $ 时，$ -2p + 6 = 4 $，即点 $ P(1, 4) $；当 $ p = -1 $ 时，$ -2p + 6 = 8 $，即点 $ P(-1, 8) $。综上所述，点 $ P $ 的坐标为 $ (1, 4) $ 或 $ (-1, 8) $。

12 (2025 南通如皋月考)如图,在平面直角坐标系 $ x O y $ 中,一次函数 $ y = k x + b ( k \neq 0 ) $ 的图象由函数 $ y = 2 x $ 的图象平移得到,且经过点 $ ( - 1, 3 ) $,$ P ( x, y ) $ 是一次函数图象上一点.
(1) 求一次函数的表达式;
(2) 当 $ \triangle O A P $ 的面积为 5 时,求点 $ P $ 的坐标.
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答案： 解：
(1) 因为一次函数 $ y = kx + b(k ≠ 0) $ 的图象由函数 $ y = 2x $ 的图象平移得到，所以 $ k = 2 $。将点 $ (-1, 3) $ 的坐标代入 $ y = 2x + b $，得 $ -2 + b = 3 $，所以 $ b = 5 $，所以一次函数的表达式为 $ y = 2x + 5 $。
(2) 将 $ y = 0 $ 代入 $ y = 2x + 5 $，解得 $ x = -\frac{5}{2} $，所以点 $ A(-\frac{5}{2}, 0) $。因为 $ △OAP $ 的面积为 5，所以 $ \frac{1}{2}×\frac{5}{2}×|y| = 5 $，所以 $ y = ±4 $。当 $ y = 4 $ 时，$ 2x + 5 = 4 $，解得 $ x = -\frac{1}{2} $，所以点 $ P(-\frac{1}{2}, 4) $；当 $ y = -4 $ 时，$ 2x + 5 = -4 $，解得 $ x = -\frac{9}{2} $，所以点 $ P(-\frac{9}{2}, -4) $。综上所述，点 $ P $ 的坐标为 $ (-\frac{1}{2}, 4) $ 或 $ (-\frac{9}{2}, -4) $。