《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

9 如图，把$\triangle ABC$经过一定的变换得到$\triangle A'B'C'$，若$\triangle ABC$上一点$P$的坐标为$(x,y)$，则这个点在$\triangle A'B'C'$中的对应点$P'$的坐标为（C）
A. $(-x,y-2)$
B. $(-x+2,-y)$
C. $(-x,y+2)$
D. $(-x+2,y+2)$

答案： C

10 (2024盐城东台一模)如图，在平面直角坐标系中，点$A(3,0)$，点$B(0,1)$，连接$AB$，将线段$AB$绕点$A$顺时针旋转$90^{\circ}$得到线段$AC$，连接$OC$，则线段$OC$的长度为（D）
A. 4
B. $3\sqrt{2}$
C. $2\sqrt{5}$
D. 5
!

答案： D

11 如图，在平面直角坐标系中，$Rt\triangle ABC$的顶点$A$在$x$轴上，顶点$B$在$y$轴上，$\angle ACB=90^{\circ}$，$OB// AC$，点$C$的坐标为$(4,8)$，点$D$和点$C$关于$AB$成轴对称，且$AD$交$y$轴于点$E$，则点$E$的坐标为(0,3)。

答案： (0,3)

12 (教材P124探究变式)如图，正方形$OABC$的边长为1，则该正方形绕点$O$逆时针旋转$135^{\circ}$后，点$B$的对应点的坐标为(-$\sqrt{2}$,0)。

答案： (-$\sqrt{2}$,0)

13 新定义阅读材料并解答下列问题：如图，把平面内一条数轴$x$绕原点$O$逆时针旋转角$\theta (0^{\circ}＜\theta ＜90^{\circ})$得到另一条数轴$y$，$x$轴和$y$轴构成一个平面斜坐标系$xOy$。规定：过点$P$作$y$轴的平行线，交$x$轴于点$A$，过点$P$作$x$轴的平行线，交$y$轴于点$B$，若点$A$在$x$轴对应的实数为$a$，点$B$在$y$轴对应的实数为$b$，则称有序实数对$(a,b)$为点$P$在平面斜坐标系$xOy$中的斜坐标。如图，在平面斜坐标系$xOy$中，已知$\theta =60^{\circ}$，点$P$的斜坐标是$(3,6)$。
（1）连接$OP$，求线段$OP$的长；
（2）将线段$OP$绕点$O$顺时针旋转$60^{\circ}$到$OQ$（点$Q$与点$P$对应），求点$Q$的斜坐标。
!

答案：
解:
(1)如图1,过点P作PC⊥OA,垂足为C,连接OP.
　　因为AP//OB，
　　所以∠PAC=θ=60°,则∠APC=30°,
　　所以AC=$\frac{1}{2}$AP.
　　因为点P的斜坐标是(3,6)，
　　所以OA=3,OB=AP=6,
　　所以AC=$\frac{1}{2}$AP=3,
　　所以PC=$\sqrt{6^2 - 3^2}$=$\sqrt{27}$,OC=3+3=6,
　　在Rt△OCP中,由勾股定理,得OP=$\sqrt{6^2 + (\sqrt{27})^2}$=$\sqrt{63}$.
(2)如图2,过点P作PC⊥OA,垂足为C,过点Q作QE//OB,QF//OC,连接CQ.
　　由旋转的性质，得OP=OQ,∠POQ=60°.
　　因为∠BOP+∠POA=∠POA+∠COQ=60°,
　　所以∠BOP=∠COQ.
　　在△BOP和△COQ中，$\begin{cases}BO = CO\\\angle BOP = \angle COQ\\OP = OQ\end{cases}$
　　所以△BOP≌△COQ(SAS),
　　所以BP=CQ=3,∠OBP=∠OCQ=120°,
　　所以∠ECQ=60°.
　　因为EQ//OB,
　　所以∠CEQ=60°,
　　所以△CEQ是等边三角形,
　　所以CE=EQ=CQ=3,
　　所以OE=6+3=9,OF=EQ=3,
　　所以点Q的斜坐标为(9,−3).