《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

1 (教材P47练习1变式)如图，$BD$，$CE$是等边三角形$ABC$的中线，则$\angle 1$的度数为 （C）
A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. 无法确定
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答案： C

2 (2025南通海门月考)如图，若$\triangle ABC$是等边三角形，$AB = 6$，$BD$是$\angle ABC$的平分线，延长$BC$到点$E$，使$CE = CD$，则$BE$的长为 （C）

A. 7
B. 8
C. 9
D. 10

答案： C

3 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$是高，$\angle A = 30^{\circ}$，若$BD = 2$，则$AB$的长为8.

答案： 8

4 如图，在等边三角形$ABC$中，$P$为$BC$上一点，且$\angle 1 = \angle 2$，则$\angle 3$的度数为$60^{\circ}$.

答案： $60^{\circ}$

5 (2025苏州太仓期末)如图，$l_{1}// l_{2}$，等边三角形$ABC$的顶点$A$在直线$l_{1}$上，$l_{2}$与$\triangle ABC$的两边$AC$，$BC$分别相交. 若$\angle 1 = 138^{\circ}$，则$\angle 2$的度数为______$102^{\circ}$.

答案： $102^{\circ}$

6 如图，$\triangle ABC$为等边三角形，$M$是线段$BC$上的任意一点，$N$是线段$CA$上任意一点，且$BM = CN$，直线$BN$与$AM$相交于点$Q$.
(1) 求证：$\triangle BAN\cong \triangle ACM$；
(2) 求$\angle BQM$的度数.
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答案：
(1) 证明:因为$\triangle ABC$为等边三角形，所以$AB = BC = CA$，$\angle BAC = \angle BCA = 60^{\circ}$。因为$BM = CN$，所以$CM = AN$。在$\triangle BAN$和$\triangle ACM$中，$\begin{cases}AB = CA\\\angle BAN = \angle ACM\\AN = CM\end{cases}$，所以$\triangle BAN \cong \triangle ACM(SAS)$。
(2) 解:因为$\triangle BAN \cong \triangle ACM$，所以$\angle CAM = \angle ABN$，所以$\angle BQM = \angle ABN + \angle BAQ = \angle CAM + \angle BAQ = \angle BAC = 60^{\circ}$。

7 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，点$D$，$E$在$BC$上，且$AE = BE$.
(1) 求$\angle CAE$的度数；
(2) 若$D$为线段$EC$的中点，求证：$\triangle ADE$是等边三角形.
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答案：
(1) 解:因为$AB = AC$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，所以$\angle B = \angle C = 30^{\circ}$。因为$AE = BE$，所以$\angle B = \angle EAB = 30^{\circ}$。因为$\angle BAC = 120^{\circ}$，所以$\angle CAE = \angle BAC - \angle EAB = 90^{\circ}$，即$\angle CAE = 90^{\circ}$。
(2) 证明:由
(1)得$\angle CAE = 90^{\circ}$，$\angle C = 30^{\circ}$，所以$\angle AED = 60^{\circ}$，所以$AE = \frac{1}{2}EC$。因为$D$为线段$EC$的中点，所以$ED = \frac{1}{2}EC$，所以$AE = ED$，则$\triangle ADE$是等边三角形。