《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

4 (2024 连云港海州一模)如图, 在长方形 $ ABCD $ 中, $ AB = 4 $, $ BC = 3 $, $ P $ 为 $ AD $ 上一点, 将 $ \triangle ABP $ 沿 $ BP $ 翻折至 $ \triangle EBP $, $ PE $ 与 $ CD $ 相交于点 $ O $, $ BE $ 与 $ CD $ 相交于点 $ G $, 且 $ OE = OD $, 求线段 $ AP $ 的长.
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答案：
解：如图，因为四边形ABCD是长方形，
所以$∠D = ∠A = ∠C = 90^{\circ},AD = BC = 3,CD = AB = 4$。
由折叠的性质，得$△ABP\cong △EBP$，
所以$EP = AP,∠E = ∠A = 90^{\circ},BE = AB = 4$。
在$△ODP$和$△OEG$中，$\begin{cases} ∠D = ∠E \\ OD = OE \\ ∠DOP = ∠EOG \end{cases}$
所以$△ODP\cong △OEG(ASA)$，
所以$OP = OG,PD = GE$，
所以$DG = EP$。
设$AP = EP = x$，则$PD = GE = 3 - x,DG = x$，
所以$CG = 4 - x,BG = 4 - (3 - x) = 1 + x$。
在$Rt△BCG$中，由勾股定理，得$BC^{2} + CG^{2} = BG^{2}$，
即$3^{2} + (4 - x)^{2} = (x + 1)^{2}$，
解得$x = 2.4$，
故线段AP的长为2.4。

5 如图, 将长方形 $ ABCD $ 沿 $ EF $ 折叠得到两个全等的小长方形, $ AB = 12 $, $ BC = 10 $, 点 $ G $ 在 $ AB $ 上运动, 当点 $ A $ 关于 $ DG $ 的对称点 $ A' $ 落在右侧长方形 $ BCEF $ 内部(含边界)时, 求线段 $ AG $ 的长 $ m $ 的取值范围.
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答案：
解：因为四边形ABCD是长方形，
所以$CD = AB = 12,DA = BC = 10$。
因为长方形ABCD沿EF折叠得到两个全等的小长方形，
所以E，F分别是CD，AB的中点，且$EF⊥AB,EF⊥CD$，
所以$AF = DE = 6,EF = 10$。
由折叠的性质知$DA' = DA = 10,AG = A'G = m$。
当点$A'$在EF上时，如图1，则$GF = AF - AG = 6 - m$。
在$Rt△DEA'$中，由勾股定理，得$EA'^{2} = DA'^{2} - DE^{2}$，
解得$EA' = 8$，则$A'F = EF - EA' = 2$。
在$Rt△A'GF$中，由勾股定理，得$(6 - m)^{2} + 2^{2} = m^{2}$，
解得$m = \frac{10}{3}$；
当点$A'$在EC上时，如图2，则$∠GA'D = ∠A = 90^{\circ},∠ADG = ∠A'DG = 45^{\circ}$，此时四边形$DA'GA$是正方形，
所以$AG = A'G = m = 10$。
综上，线段AG的长的取值范围是$\frac{10}{3}≤m≤10$。
　　

6 如图, 在正方形 $ ABCD $ 中, $ AB = 10 $, $ E $ 为 $ BC $ 的中点, 将正方形的边 $ CD $ 沿着 $ DE $ 折叠到 $ DF $, 延长 $ EF $ 交 $ AB $ 于点 $ G $, 连接 $ DG $.
(1) 求证: $ \triangle ADG \cong \triangle FDG $;
(2) 求 $ \triangle BEG $ 的面积.
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答案：
(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，
所以$DC = AD,∠C = ∠A = 90^{\circ}$。
因为$△DEF$是由$△DEC$翻折所得，
所以$DF = DC,∠DFE = ∠DFG = ∠C = 90^{\circ}$，
所以$∠A = ∠DFG,DA = DF$。
在$Rt△ADG$和$Rt△FDG$中，$\begin{cases} DG = DG \\ DA = DF \end{cases}$
所以$△ADG\cong △FDG(HL)$。
(2)解：因为$△ADG\cong △FDG$，所以$AG = FG$。
设$AG = FG = x$，因为$BE = EC = EF = 5$，
所以$BG = 10 - x,GE = 5 + x$。
在$Rt△BEG$中，由勾股定理，得$BG^{2} + BE^{2} = GE^{2}$，
所以$(10 - x)^{2} + 5^{2} = (x + 5)^{2}$，解得$x = \frac{10}{3}$，
所以$BG = 10 - \frac{10}{3} = \frac{20}{3}$，
所以$S_{△BEG} = \frac{1}{2}×5×\frac{20}{3} = \frac{50}{3}$。