《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

5 (2024南通)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m,n(m＞n).若小正方形面积为5,且$(m+n)^{2}=21$,则大正方形面积为 (B)
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15

答案： B

6 若n＞1,△ABC三边长分别是$n^{2}-1,2n,n^{2}+1$,则△ABC是直角三角形.

答案： 直角

7 如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法,该方法运用了祖冲之的出入相补原理.若图中空白部分的面积是14,整个图形(连同空白部分)的面积是36,则大正方形ABCD的边长是5.

答案： 5

8 勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力.千百年来,人们对它的证明趋之若鹜,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者.向常春在1994年构造发现了一个新的证法.证法如下:把两个全等的直角三角形(Rt△ABC≌Rt△DAE)按如图所示的方式放置,$∠DAB=∠B=90^{\circ}$,点E在边AB上,现设Rt△ABC的两直角边长分别为CB=b,AB=a,斜边长为AC=c.
(1) 求证:AC⊥DE;
(2) 请根据上述图形的面积关系证明勾股定理.
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答案： 证明：（1）因为$Rt\triangle ABC \cong Rt\triangle DAE$，所以$\angle ACB = \angle DEA$。因为$\angle B = 90^{\circ}$，所以$\angle ACB + \angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle DEA + \angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle AFE = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle DEA = 90^{\circ}$，所以$AC \perp DE$。
（2）由题意，得$S_{梯形ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot AB = \frac{a + b}{2} \cdot a = \frac{1}{2}a^{2} + \frac{1}{2}ab$，且$S_{\triangle CBE} = \frac{1}{2}BE \cdot BC = \frac{1}{2}b(a - b) = \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^{2}$。因为$Rt\triangle ABC \cong Rt\triangle DAE$，所以$DE = AC = c$，所以$S_{四边形AECD} = S_{\triangle ADE} + S_{\triangle CDE} = \frac{1}{2}AF \cdot DE + \frac{1}{2}CF \cdot DE = \frac{1}{2}AC \cdot DE = \frac{1}{2}c^{2}$，所以$\frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^{2} + \frac{1}{2}c^{2} = \frac{1}{2}a^{2} + \frac{1}{2}ab$，整理，得$a^{2} + b^{2} = c^{2}$。

9 如图,在△ABD中,AC⊥BD于点C,E为AC上的一点,连接BE,DE,DE的延长线交AB于点F.已知DE=AB,$∠CAD=45^{\circ}$.
(1) 求证:DF⊥AB;
(2) 利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明.如图,在△ABC中,$∠ACB=90^{\circ},BC=a,AC=b,AB=c$,求证:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
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答案： 证明：（1）因为$AC \perp BD$，$\angle CAD = 45^{\circ}$，所以$AC = DC$，$\angle ACB = \angle DCE = 90^{\circ}$。在$Rt\triangle ABC$与$Rt\triangle DEC$中，$\begin{cases} AC = DC, \\ AB = DE, \end{cases}$所以$Rt\triangle ABC \cong Rt\triangle DEC(HL)$，所以$\angle BAC = \angle EDC$。因为$\angle EDC + \angle CED = 90^{\circ}$，$\angle CED = \angle AEF$，所以$\angle AEF + \angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle AFE = 90^{\circ}$，所以$DF \perp AB$。
（2）因为$S_{\triangle BCE} + S_{\triangle ACD} = S_{\triangle ABD} - S_{\triangle ABE}$，所以$\frac{1}{2}a^{2} + \frac{1}{2}b^{2} = \frac{1}{2}c \cdot DF - \frac{1}{2}c \cdot EF = \frac{1}{2}c \cdot (DF - EF) = \frac{1}{2}c \cdot DE = \frac{1}{2}c^{2}$，整理，得$a^{2} + b^{2} = c^{2}$。