《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

8 (2025苏州姑苏期中)如图,在$\triangle ABC$中,点D在AC上,点E在AB上,且$AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB$,则$∠A$等于 (A)
A. $45^{\circ }$
B. $30^{\circ }$
C. $60^{\circ }$
D. $75^{\circ }$
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答案： A

9 易错题 (2024宿迁宿豫期中)如图,在$\triangle ABC$中,$∠C=90^{\circ }$,将$\triangle ABC$沿DE折叠,使点B落在边AC上的点F处,若$∠CFD=57^{\circ }$,且$\triangle AEF$为等腰三角形,则$∠A$是度数为 (D)

A. $49^{\circ }$
B. $52^{\circ }$
C. $52^{\circ }$或$41^{\circ }$
D. $49^{\circ }$或$38^{\circ }$

答案： D

10 易错题 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$30^{\circ }$,则顶角的度数为$60^{\circ}$或$120^{\circ}$.

答案： $60^{\circ}$或$120^{\circ}$

11 (2025南京玄武期末)如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,直线m,n分别是AB,AC的垂直平分线,m,n交于点P,连接CP.若$∠1=21^{\circ }$,则$∠B$的度数为______$67^{\circ}$.

答案： $67^{\circ}$

12 (2025扬州江都期末)如图,$AB=AC=AD$.
(1) 若$AD// BC$,回答下列问题:
①如果$∠C=80^{\circ }$,那么$∠D$的度数为$40^{\circ}$;
②猜想$∠C$和$∠D$的数量关系并证明;$\angle C = 2\angle D$，理由如下：
因为$AD // BC$，
所以$\angle D = \angle DBC$，
又因为$AB = AD$，
所以$\angle D = \angle ABD$，
所以$\angle ABC = 2\angle D$。
因为$AB = AC$，
所以$\angle C = \angle ABC = 2\angle D$。
(2) 如果$∠C=2∠D$,AD与BC有什么位置关系? 请证明你的结论.$AD // BC$，证明如下：
因为$AB = AC$，$\angle C = 2\angle D$，
所以$\angle ABC = \angle C = 2\angle D$。
因为$AB = AD$，
所以$\angle ABD = \angle D$，
所以$\angle DBC = \angle D$，
所以$AD // BC$。

答案： 解：（1）①$40^{\circ}$
②$\angle C = 2\angle D$，理由如下：
因为$AD // BC$，
所以$\angle D = \angle DBC$，
又因为$AB = AD$，
所以$\angle D = \angle ABD$，
所以$\angle ABC = 2\angle D$。
因为$AB = AC$，
所以$\angle C = \angle ABC = 2\angle D$。
（2）$AD // BC$，证明如下：
因为$AB = AC$，$\angle C = 2\angle D$，
所以$\angle ABC = \angle C = 2\angle D$。
因为$AB = AD$，
所以$\angle ABD = \angle D$，
所以$\angle DBC = \angle D$，
所以$AD // BC$。

13 如图1,图2,在四边形ABCD中,$∠BAD=α,∠BCD=180^{\circ }-α$,BD平分$∠ABC$.
(1) 如图1,若$α=90^{\circ }$,根据教材中一个重要性质直接可得$DA=CD$,这个性质是______;
(2) 问题解决:如图2,求证$AD=CD$;
(3) 问题拓展:如图3,在等腰三角形ABC中,$∠BAC=100^{\circ }$,BD平分$∠ABC$,求证:$BD+AD=BC$.
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答案：
（1）角平分线上的点到角的两边距离相等
（2）证明：如图1，作$DE \perp BA$交BA的延长线于点E，$DF \perp BC$于点F。
因为BD平分$\angle EBF$，$DE \perp BE$，$DF \perp BF$，
所以$DE = DF$。
因为$\angle BAD + \angle C = 180^{\circ}$，$\angle BAD + \angle EAD = 180^{\circ}$，
所以$\angle EAD = \angle C$。
在$\triangle DEA$和$\triangle DFC$中，$\begin{cases} \angle DEA = \angle DFC, \\ \angle DAE = \angle DCF, \\ DE = DF, \end{cases}$
所以$\triangle DEA \cong \triangle DFC(AAS)$，
所以$DA = DC$。
（3）证明：如图2，在BC上截取$BK = BD$，连接DK。
因为$AB = AC$，$\angle A = 100^{\circ}$，
所以$\angle ABC = \angle C = 40^{\circ}$。
因为BD平分$\angle ABC$，
所以$\angle DBK = \frac{1}{2}\angle ABC = 20^{\circ}$。
因为$BD = BK$，
所以$\angle BKD = \angle BDK = 80^{\circ}$，即$\angle A + \angle BKD = 180^{\circ}$，
由（2）的结论得$AD = DK$，
因为$\angle BKD = \angle C + \angle KDC$，
所以$\angle KDC = \angle C = 40^{\circ}$，
所以$DK = CK$，
所以$AD = DK = CK$，
所以$BD + AD = BK + CK = BC$。