《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

10 (易错题)若$\triangle ABC$的三边 $a,b,c$ 满足$(a - c)(a^{2}+b^{2}-c^{2}) = 0$,则$\triangle ABC$是 (C)
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形
D. 等腰直角三角形

答案： C

11 如图,$P$ 是等边三角形 $ABC$ 内一点,连接 $PA,PB,PC$,且 $PA:PB:PC = 3:4:5$,以 $AC$ 为边在$\triangle ABC$外作$\triangle AP'C\cong\triangle APB$,连接 $PP'$,则下列结论中错误的是 (D)
A. $\triangle APP'$是正三角形
B. $\triangle PCP'$是直角三角形
C. $\angle APB = 150^{\circ}$
D. $\angle APC = 135^{\circ}$

答案： D

12 如图,在$\triangle ABC$中,$AC = 6,BC = 8,AB = 10,AD$ 为$\triangle ABC$的角平分线,则 $CD$ 的长为3.

答案： 3

13 如图,在$\triangle ABC$中,边 $AB$ 上的垂直平分线 $DE$ 与 $AB,AC$ 分别交于点 $D,E$,且$CB^{2}=AE^{2}-CE^{2}$.
(1) 求证:$\angle C = 90^{\circ}$;
(2) 若$AC = 4,BC = 3$,求 $CE$ 的长.
!

答案： （1）证明：连接 $ BE $。因为边 $ AB $ 上的垂直平分线为 $ DE $，
所以 $ AE = BE $。
因为 $ CB^{2} = AE^{2} - CE^{2} $，所以 $ CB^{2} = BE^{2} - CE^{2} $，
所以 $ CB^{2} + CE^{2} = BE^{2} $，所以 $ \angle C = 90^{\circ} $。
（2）解：设 $ CE = x $，则 $ AE = BE = 4 - x $，
在 $ \text{Rt} \triangle BCE $ 中，$ BE^{2} - CE^{2} = BC^{2} $，
所以 $ (4 - x)^{2} - x^{2} = 3^{2} $，解得 $ x = \frac{7}{8} $，
所以 $ CE $ 的长为 $ \frac{7}{8} $。

14 (2024 南通海门期末)满足 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 的三个正整数,称为勾股数.
(1) 请把下列三组勾股数补充完整:
①6, $8,10$;②$5$,12, $13$;③$8,15$,17;
(2) 小敏发现,很多已经约去公因数的勾股数中,都有一个数是偶数,如果将它写成 $2mn(m,n$均为正整数),那么另外两个数可以写成 $m^{2}+n^{2},m^{2}-n^{2}$,如 $4 = 2×2×1,5 = 2^{2}+1^{2},3 = 2^{2}-1^{2}$. 请你帮小敏证明这三个数 $2mn,m^{2}+n^{2},m^{2}-n^{2}$ 是勾股数;
证明：因为 $ (m^{2} - n^{2})^{2} + (2mn)^{2} = m^{4} + n^{4} - 2m^{2}n^{2} + 4m^{2}n^{2} = m^{4} + n^{4} + 2m^{2}n^{2} $，$ (m^{2} + n^{2})^{2} = m^{4} + n^{4} + 2m^{2}n^{2} $，
所以 $ (m^{2} - n^{2})^{2} + (2mn)^{2} = (m^{2} + n^{2})^{2} $。
又 $ 2mn $，$ m^{2} + n^{2} $，$ m^{2} - n^{2} $ 是正整数，
所以 $ 2mn $，$ m^{2} + n^{2} $，$ m^{2} - n^{2} $ 是勾股数。
(3) 如果 $21,72,75$ 是满足上述小敏发现的规律的勾股数,求 $m + n$ 的值.
解：约去公因数，得 7，24，25，
因为偶数 $ 24 = 2 × 3 × 4 $，$ 25 = 4^{2} + 3^{2} $，$ 7 = 4^{2} - 3^{2} $，
所以 $ m = 4 $，$ n = 3 $，所以 $ m + n = 7 $。

答案： （1）①6 ②12 ③17
（2）证明：因为 $ (m^{2} - n^{2})^{2} + (2mn)^{2} = m^{4} + n^{4} - 2m^{2}n^{2} + 4m^{2}n^{2} = m^{4} + n^{4} + 2m^{2}n^{2} $，$ (m^{2} + n^{2})^{2} = m^{4} + n^{4} + 2m^{2}n^{2} $，
所以 $ (m^{2} - n^{2})^{2} + (2mn)^{2} = (m^{2} + n^{2})^{2} $。
又 $ 2mn $，$ m^{2} + n^{2} $，$ m^{2} - n^{2} $ 是正整数，
所以 $ 2mn $，$ m^{2} + n^{2} $，$ m^{2} - n^{2} $ 是勾股数。
（3）解：约去公因数，得 7，24，25，
因为偶数 $ 24 = 2 × 3 × 4 $，$ 25 = 4^{2} + 3^{2} $，$ 7 = 4^{2} - 3^{2} $，
所以 $ m = 4 $，$ n = 3 $，所以 $ m + n = 7 $。