《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

17. 统计结合法 某学校为了了解本校2 400名学生对世界杯的关注程度，以便做好引导和教育工作，随机抽取了200名学生进行调查，按关注程度，绘制了扇形统计图.
（1）如果把“特别关注”“一般关注”“偶尔关注”都统计成关注，那么全校关注本届世界杯的学生大约有 ______ 名；
（2）在这次调查中，九（4）班有甲、乙、丙、丁四人“特别关注”本届世界杯，现准备从四人中随机抽取两人进行座谈，请用画树形图的方法求出抽取的两人恰好是甲和乙的概率.
　

答案：
解：
(1)1320 提示：根据题意得$2400×(1 - 45\%) = 1320$(名)，
则该校关注本届世界杯的学生大约有 1320 名；
(2)画树形图，如图所示:
所有等可能的情况有 12 种，其中恰好抽中甲与乙的情况有 2 种，则$P = \frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.

18. 概率与函数相结合 有四张正面分别标有数字2，1，-3，-4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n.
（1）请画出树形图并写出（m，n）所有可能的结果；
（2）求所选出的m，n能使一次函数y = mx + n的图像经过第二、三、四象限的概率.

答案：
解：
(1)画树形图得:
则$(m,n)$共有 12 种等可能的结果：$(2,1),(2,-3),(2,-4),(1,2),(1,-3),(1,-4),(-3,2),(-3,1),(-3,-4),(-4,2),(-4,1),(-4,-3)$；
(2)
∵所选出的$m,n$能使一次函数$y = mx + n$的图像经过第二、三、四象限的有：$(-3,-4),(-4,-3)$，
∴所选出的$m,n$能使一次函数$y = mx + n$的图像经过第二、三、四象限的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.

19. 某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种.从中随机拿出一个球，已知P(一次拿到8元球)=$\frac{1}{2}$，若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练，乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用画树形图求乙组两次都拿到8元球的概率.

答案：
解：
∵$P$(一次拿到 8 元球)$=\frac{1}{2}$，
∴8 元球的个数为$4×\frac{1}{2}=2$.
由题意得所剩的 3 个球价格分别为 8 元/个，8 元/个，9 元/个，
树形图如图所示:
共有 9 种等可能的结果，乙组两次都拿到 8 元球的结果有 4 种，所以乙组两次都拿到 8 元球的概率为$\frac{4}{9}$.

20. 真实问题情境推理能力 某校为培养学生垃圾分类的好习惯，在校园内摆放了几组垃圾桶，每组4个，分别是“可回收物”“有害垃圾”“厨余垃圾”和“其他垃圾”（分别记为A，B，C，D）.小超同学由于上课没有听清楚老师的讲解，课后也没有认真学习教室里张贴的“垃圾分类常识”，对垃圾分类标准不是很清楚，于是先后将一个矿泉水瓶和一张擦了汗的面巾纸随机扔进了两个不同的垃圾桶.说明：矿泉水瓶属于“可回收物”，擦了汗的面巾纸属于“其他垃圾”.
（1）小超将矿泉水瓶随机扔进4个垃圾桶中的某一个桶，恰好分类正确的概率是 ______；
（2）小超先后将一个矿泉水瓶和一张擦了汗的面巾纸随机扔进了两个不同的垃圾桶，两个垃圾都分类错误的概率为 ______.

答案：

(1)$\frac{1}{4}$ 提示：因为共有四个垃圾桶，所以恰好分类正确的概率是$\frac{1}{4}$；
(2)$\frac{7}{12}$
提示：画树形图得:

∵共有 12 种等可能的结果，两个垃圾都分类错误的结果有 7 种：BA，BC，CA，CB，DA，DB，DC，
∴$P$(两个垃圾都分类错误)$=\frac{7}{12}$.