《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

16. 如图,已知AB是⊙O的直径,直线BC与⊙O相切于点B,∠ABC的平分线BD交⊙O于点D,AD的延长线交BC于点C.
(1)求∠BAC的度数;
(2)求证:AD=CD.

答案： 解：
(1)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，即BD⊥AC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD
中，{∠ADB=∠CDB，BD=BD，∠ABD=∠CBD，
∴△ABD≌△CBD(ASA)，
∴AB=CB，
∵直线BC与⊙O相切于点B，
∴∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠C=45°；
(2)证明：
∵AB=CB，BD⊥AC，
∴AD=CD.

17. 推理能力 如图1,以△ABC的边AB为直径作⊙O,交AC于点E,BD平分∠ABE交AC于点F,交⊙O于点D,且∠BDE=∠CBE.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)如图2,延长ED交直线AB于点P,若PA=AO,DE=2,求PD/DE的值及AO的长.

答案：
解：
(1)证明：
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，
∵∠A=∠BDE=∠EBC，
∴∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
(2)如图，连接OD.
∵BD平分∠ABE，
∴D是AE 的中点，
∴OD⊥AE，
∵AE⊥BE，
∴BE//OD，
∵PA =OA =OB，
∴OP=2OB，
∴$\frac{PD}{DE}$=$\frac{PO}{OB}$=2，
∴PD=2DE=4，
∵∠P=∠P，∠PBD=∠PEA，
∴△PDB∽△PAE，
∴$\frac{PD}{PA}$=$\frac{PB}{PE}$，
∴PD·PE=PA·PB，
∴4×6=PA·3PA，
∴AO=PA=2$\sqrt{2}$
　　　　

18. 抽象能力 如图1所示的日晷是古代的计时仪器.日晷的表面是以点O为圆心的圆形,OA为某时刻晷针的影长,示意图如图2所示,AO的延长线交⊙O于点E,与DB交于点B,BD与⊙O相切于点D,过点O作OC//DE交⊙O于点F.交BD的延长线于点C.
(1)求证:∠A=∠C;
(2)若点F为OC的中点,⊙O的半径为2,求BE的长.

答案： 解：
(1)证明：在题图中连接OD，
∵直线BC与⊙O相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴∠CDO=∠BDO=90°，
∴∠EDO+∠EDB=90°.
∵AE为⊙O直径，
∴易得∠EAD+∠AED=90°.
∵EO=DO，
∴∠ODE=∠DEO.
∴∠DAE=∠BDE，
∵DE//OC，
∴∠C=∠BDE.
∴∠A=∠C；
(2)易知∠ODC=90°，
∵点F是OC的中点，OD=2，
∴OC=4，
∴∠C=30°，在Rt△ODC中，由勾股定理，得DC=2$\sqrt{3}$.
∴∠C=∠DAE=∠BDE=30°.
∵∠ADE=90°，∠DAE=30°，
∴∠DEA=60°.
∵OA=OD=OE=2，
∴△ODE为等边三角形，
∴DE=OE=OD=2.
∵∠DEA =∠B +∠EDB=60°，
∴∠B=∠EDB=30°.
∴BE=ED=2.即BE的长为2.

19. 开放探究几何直观 如图,△ABC的顶点均在⊙O上,直径BD与AC交于点E,点F在BC的延长线上,∠F=∠BAC,连接AD.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)从以下三个选项中选一个作为条件,使DF//AC成立,并说明理由.
①AB=AC;②AD=DC;③∠CAD=∠ABD;
你选的条件是: .

答案： 解：
(1)证明：
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，即∠BAC+∠CAD=90°，
∵∠BAC=∠F，∠CAD=∠DBF，
∴∠DBF+∠F=90°，
∴∠BDF=90°.
∴BD⊥DF，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
(2)可选②或③，若选②，理由：
∵AD =CD ，BD是⊙O的直径，
∴易知AC⊥BD，由
(1)可知DF⊥BD，
∴AC//DF；
若选③，理由：
∵∠CAD=∠ABD，
∴AD =CD ，又
∵BD是⊙O的直径，
∴易知AC⊥BD，
∵DF⊥BD，
∴AC//DF.