《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

4. 易错题 某景点商户抓住商机，向游客推销一种加工好的喂养海鸥的饲料，已知每千克成本为20元，市场调查发现，在一段时间内，该产品每天销售量w(kg)随销售单价x(元/kg)的变化而变化，有这样的关系式：w = -2x + 80。设这种饲料在这段时间内的销售利润为y(元)。
(1)当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(2)如果物价部门规定该景区这种饲料的销售单价不得高于28元/kg，该商户每天能否获得比150元更大的利润？如果能，请求出最大利润，如果不能，请说明理由。

答案： 解：
(1)由题意得y = (x - 20)( - 2x + 80)= - 2x² + 80x + 40x - 1600 = - 2x² + 120x - 1600 = - 2(x - 30)² + 200，
∵a = - 2 ＜ 0，
∴抛物线开口向下，
∵x ≥ 20，y ≥ 0，
∴20 ≤ x ≤ 40，
∴当x = 30时，y最大 = 200，即销售单价定为30元/kg时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；
(2)
∵y = - 2(x - 30)² + 200，
∴当x ＜ 30时y随x增大而增大，
∵x ≤ 28，
∴当x = 28时，y能取得最大值为192，即商户每天能获得比150元更大的利润，最大利润是192元.

5. 模型观念 某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只4元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：$y=\begin{cases}32x(0\leq x\leq5),\\20x + 60(5\lt x\leq19).\end{cases}$
(1)李红第几天生产的粽子数量为260只？
(2)如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图像来刻画，若李红第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元。(利润 = 出厂价 - 成本)

答案： 解：
(1)设李红第x天生产的粽子数量为260只，
∵32×5 = 160 ＜ 260，
∴5 ＜ x ≤ 19.根据题意得20x + 60 = 260，解得x = 10，即李红第10天生产的粽子数量为260只；
(2)根据图像得当0 ≤ x ≤ 9时，p = 2；当9 ＜ x ≤ 19时，设解析式为p = kx + b，把(9,2)，(19,3)代入得$\begin{cases}9k + b = 2 \\19k + b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{1}{10} \\b = \frac{11}{10}\end{cases}$，
∴p = $\frac{1}{10}$x + $\frac{11}{10}$，①当0 ≤ x ≤ 5时，w = (4 - 2)×32x = 64x，当x = 5时，w最大 = 320元；②当5 ＜ x ≤ 9时，w = (4 - 2)×(20x + 60)= 40x + 120，当x = 9时，w最大 = 480元；③当9 ＜ x ≤ 19时，w = [4 - ($\frac{1}{10}$x + $\frac{11}{10}$)]·(20x + 60)= - 2x² + 52x + 174 = - 2(x - 13)² + 512，当x = 13时，w最大 = 512元.综上所述，第13天的利润最大，最大利润是512元.

6. 某公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/kg)与时间t(天)之间的函数关系式为$p=\begin{cases}\frac{1}{4}t + 30(1\leq t\leq24,t为整数),\\-\frac{1}{2}t + 48(25\leq t\leq48,t为整数),\end{cases}$且其日销售量y(kg)与时间t(天)的关系如表：

(1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少；
(2)哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
(3)在实际销售的前24天中，公司决定每天每销售1kg水果就捐赠n元(n＜9)给偏远山区学生。现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围。

答案： 解：
(1)依题意，设y = kt + b，将(10,100)，(20,80)代入y = kt + b，得$\begin{cases}100 = 10k + b \\80 = 20k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - 2 \\b = 120\end{cases}$，
∴日销售量y(kg)与时间t(天)的关系为y = - 2t + 120，当t = 30时，y = - 2×30 + 120 = 60，
∴在第30天的日销售量是60 kg；
(2)设日销售利润为W元，则W = (p - 20)y.当1 ≤ t ≤ 24时，W = ($\frac{1}{4}$t + 30 - 20)(120 - 2t)= - $\frac{1}{2}$t² + 10t + 1200 = - $\frac{1}{2}$(t - 10)² + 1250，当t = 10时，W最大 = 1250.当25 ≤ t ≤ 48时，W = ( - $\frac{1}{2}$t + 48 - 20)·(120 - 2t)= t² - 116t + 3360 = (t - 58)² - 4，由二次函数的图像及性质知：当t = 25时，W最大 = 1085.
∵1250 ＞ 1085，
∴在第10天的销售利润最大，最大利润为1250元；
(3)依题意得，在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为W = ($\frac{1}{4}$t + 30 - 20 - n)(120 - 2t)= - $\frac{1}{2}$t² + (2n + 10)t + 1200 - 120n，其图像对称轴为直线t = 2n + 10，要使W随t的增大而增大，由二次函数的图像及性质知：2n + 10 ≥ 24，解得n ≥ 7.又
∵n ＜ 9，
∴7 ≤ n ＜ 9.