《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

16. 如图，一边靠校园围墙(墙足够长)，其他三边用总长为40 m的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x m，面积为S m²，要使矩形ABCD的面积最大，则x为 （ ）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
　　

答案： A

17. 如图，点C是线段AB上的一个动点，AB = 1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是 （ ）
A. 当C是AB的中点时，S最小
B. 当C是AB的中点时，S最大
C. 当C为AB的三等分点时，S最小
D. 当C为AB的三等分点时，S最大
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： A

18. 分类讨论思想 当 - 2 ≤ x ≤ 1时，二次函数y = -(x - m)² + m² + 1有最大值4，则实数m的值为( )
A. -$\frac{7}{4}$
B. $\sqrt{3}$或 - $\sqrt{3}$
C. 2或 - $\sqrt{3}$
D. 2或$\sqrt{3}$或 - $\frac{7}{4}$

答案： C

19. 已知二次函数y = mx² + (m² - 3)x + 1，当x = - 1时，y取得最大值，则m = _________.

答案： -1 提示：根据题意知，$-\frac{m^{2}-3}{2m}=-1$，且$m\lt0$，整理该方程可得$m^{2}-2m - 3 = 0$，解得$m = - 1$或$m = 3$(舍).

20. 某种商品每件进价为30元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(30 ≤ x ≤ 40，且x为整数)出售，可卖出(40 - x)件，若使利润最大，每件的售价应为 ______元.

答案： 35 提示：设最大利润为 w 元，则$w=(x - 30)(40 - x)=-(x - 35)^{2}+25$，
∵$30\leq x\leq40$，
∴当$x = 35$时，二次函数取得最大值 25.

21. 如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900 m　　　　　　　　　　　　
(篱笆的厚度忽略不计)，当AB = ________ m时，矩形土地ABCD的面积最大.

答案： 150

22. 几何直观 如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC，BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，那么DE长的最小值是 _________.
　　　　　　　　　

答案： 1 提示：在题图中连接 DE，设$AC = x$，则$BC = 2 - x$，
∵$\triangle ACD$和$\triangle BCE$都是等腰直角三角形，
∴$\angle DCA = 45^{\circ}$，$\angle ECB = 45^{\circ}$，$DC=\frac{\sqrt{2}}{2}x$，$CE=\frac{\sqrt{2}}{2}(2 - x)$，
∴$\angle DCE = 90^{\circ}$，故$DE^{2}=DC^{2}+CE^{2}=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}(2 - x)^{2}=x^{2}-2x + 2=(x - 1)^{2}+1$，当$x = 1$时，$DE^{2}$取得最小值，DE 也取得最小值，最小值为 1.

23. 某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个.根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个.
(1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是 ________ 元；这种篮球每月的销售量是 ________ 个；(用含x的代数式表示)
(2)当篮球的销售单价定为 ______ 元时，每月销售这种篮球有最大利润，此时最大利润是 ________ 元.

答案：
(1)$(x + 10)(500 - 10x)$
(2)70 9000 提示：
(1)由题意得每个篮球可获得的利润是$(x + 10)$元，篮球每月的销售量是$(500 - 10x)$个；
(2)设销售这批篮球的利润为 y 元，由题意，得$y=(x + 10)(500 - 10x)$，化简得$y = - 10x^{2}+400x + 5000 = - 10(x - 20)^{2}+9000$，
∵$a = - 10\lt0$，
∴$x = 20$时，$y_{最大}=9000$，
∴篮球的销售单价为$50 + 20 = 70$(元).

24. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本.
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)销售单价为多少元时，每天的销售利润最大? 最大利润是多少?

答案： 解：
(1)$y=(x - 50)[50 + 5(100 - x)]=(x - 50)(-5x + 550)= - 5x^{2}+800x - 27500$，
∴$y = - 5x^{2}+800x - 27500(50\leq x\leq100)$；
(2)$y = - 5x^{2}+800x - 27500 = - 5(x - 80)^{2}+4500$，
∵$a = - 5\lt0$，
∴抛物线开口向下，
∵$50\leq x\leq100$，对称轴是直线$x = 80$，
∴当$x = 80$时，$y_{最大值}=4500$，即销售单价为 80 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 4500 元.