《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

1. 已知一抛物线的顶点在y轴上,且过两点(1,2),(2,5),则此抛物线的表达式为 ______.

答案： $y = x^{2}+1$

2. 已知某二次函数的图像与x轴交于点A(3,0)与点B(-2,0),与y轴交于点(0,3),求该二次函数的表达式.

答案： 解：设抛物线表达式为$y = a(x - 3)(x + 2)$，把$(0,3)$代入得$a\cdot(-3)\times2 = 3$，解得$a = -\frac{1}{2}$，所以抛物线表达式为$y = -\frac{1}{2}\cdot(x - 3)(x + 2)=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x + 3$。

3. 已知二次函数的图像与x轴的两个交点A,B关于直线x=-1对称,且AB=6,顶点在函数y=2x的图像上,则这个二次函数的表达式为__________.

答案： $y=\frac{2}{9}x^{2}+\frac{4}{9}x-\frac{16}{9}$ 提示：二次函数图像的对称轴为直线$x = - 1$，且与$x$轴交于$A$，$B$两点，$AB = 6$，$\therefore$抛物线与$x$轴交于点$(-4,0)$，$(2,0)$，顶点的横坐标为$-1$，$\because$顶点在函数$y = 2x$的图像上，$\therefore y = 2\times(-1)=-2$，$\therefore$顶点坐标为$(-1,-2)$，设二次函数表达式为$y = a(x + 4)\cdot(x - 2)$，把$(-1,-2)$代入得$a=\frac{2}{9}$，则$y=\frac{2}{9}(x + 4)(x - 2)=\frac{2}{9}x^{2}+\frac{4}{9}x-\frac{16}{9}$。

4. 已知二次函数图像的顶点为A(1,-4),且经过点B(3,0).
(1)求该二次函数的解析式;
(2)判断点C(2,-3),D(-1,1)是否在该函数图像上,并说明理由.

答案： 解：
(1)设二次函数的解析式是$y = a(x - h)^{2}+k$，$\because$二次函数图像的顶点为$A(1,-4)$，$\therefore y = a(x - 1)^{2}-4$，$\because$图像经过点$B(3,0)$，$\therefore$将其坐标代入得$0 = a(3 - 1)^{2}-4$，解得$a = 1$，$\therefore y=(x - 1)^{2}-4$，即二次函数的解析式为$y = x^{2}-2x - 3$；
(2)点$C(2,-3)$在该函数图像上，点$D(-1,1)$不在该函数图像上。理由：把$(2,-3)$代入$y = x^{2}-2x - 3$，得左边$=-3$，右边$=4 - 4 - 3=-3$，即左边=右边，所以点$C$在该函数的图像上；把$(-1,1)$代入$y = x^{2}-2x - 3$，得左边$=1$，右边$=1 + 2 - 3 = 0$，即左边$\neq$右边，所以点$D$不在该函数的图像上。

5. 较难题 如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,EG⊥AF,FH⊥CE,垂足分别为G,H,设AG=x,图中阴影部分面积为y,则y与x之间的函数关系式是 ( )

A. y=3√3x²
B. y=4√3x²
C. y=8x²
D. y=9x²

答案： C

6. 几何直观 如图,已知在平面直角坐标系中,点A在第二象限内,点B和点C在x轴上,原点O为边BC的中点,BC=4,AO=AB,tan∠AOB=3,求图像经过A,B,C三点的二次函数表达式.

答案：
解：$\because$原点$O$为边$BC$的中点，$BC = 4$，$\therefore$点$B$坐标为$(-2,0)$，点$C$坐标为$(2,0)$，如图，作$AH\perp OB$于点$H$，$\because AO = AB$，$\therefore OH = BH = 1$，$\because\tan\angle AOB=\frac{AH}{OH}=3$，$\therefore AH = 3$，$\therefore$点$A$坐标为$(-1,3)$，设抛物线的表达式为$y = a(x + 2)(x - 2)$，把$(-1,3)$代入得$-3a = 3$，解得$a = - 1$，$\therefore$图像经过$A$，$B$，$C$三点的二次函数表达式为$y = -(x + 2)(x - 2)=-x^{2}+4$。

7. 已知二次函数y=1/2x² - 3x + 1.
(1)若把它的图像先向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,求所得图像的函数表达式;
(2)若把它的图像绕它的顶点旋转180°,求所得图像的函数表达式;
(3)若把它的图像沿x轴翻折,求所得图像的函数表达式.

答案： 解：
(1)$\because y=\frac{1}{2}x^{2}-3x + 1=\frac{1}{2}(x - 3)^{2}-\frac{7}{2}$，$\therefore$把它的图像先向右平移$1$个单位长度，再向下平移$3$个单位长度得到的图像的函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x - 3 - 1)^{2}-\frac{7}{2}-3$，即$y=\frac{1}{2}(x - 4)^{2}-\frac{13}{2}=\frac{1}{2}x^{2}-4x+\frac{3}{2}$；
(2)因为图像绕它的顶点旋转$180^{\circ}$后，其对称轴与顶点坐标均不变，只是图像开口向下，所以所得图像的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}(x - 3)^{2}-\frac{7}{2}=-\frac{1}{2}x^{2}+3x - 8$；
(3)$\because y=\frac{1}{2}x^{2}-3x + 1=\frac{1}{2}(x - 3)^{2}-\frac{7}{2}$的图像沿$x$轴翻折后，顶点为$(3,\frac{7}{2})$，且图像开口向下，$\therefore$所求表达式为$y = -\frac{1}{2}(x - 3)^{2}+\frac{7}{2}=-\frac{1}{2}x^{2}+3x - 1$。