《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

9. 模型观念小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析.如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m，CA=2m，击球点P在y轴上.若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y=-0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y=a(x-1)²+3.2.
(1)求点P的坐标和a的值；
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到点C的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式.

答案： 解：
(1)在$y=-0.4x + 2.8$中，令$x = 0$，得$y = 2.8$，$\therefore$ 点$P$的坐标为$(0,2.8)$，把$P(0,2.8)$代入$y=a(x - 1)^{2}+3.2$，得$a + 3.2 = 2.8$，解得$a=-0.4$；
(2)$\because OA = 3\ m$，$CA = 2\ m$，$\therefore OC = 5\ m$，$\therefore C(5,0)$.在$y=-0.4x + 2.8$中，令$y = 0$，得$x = 7$，在$y=-0.4(x - 1)^{2}+3.2$中，令$y = 0$，得$x=-2\sqrt{2}+1$(舍去)或$x = 2\sqrt{2}+1\approx3.83$，$\because|7 - 5|＞|3.83 - 5|$，$\therefore$ 选择吊球方式，球的落地点到点$C$的距离更近.

10. 重点题二次函数y=ax²+bx+c的图像如图所示，则一次函数y=cx+ab的图像不经过( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： B

11. 如图，P是抛物线y=x²-2x-3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为______.

答案： $\frac{21}{2}$

12. 关于二次函数y=ax²-4ax-5(a≠0)的三个结论：①对任意实数m，都有x₁=2+m与x₂=2-m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则-$\frac{4}{3}$＜a≤-1或1≤a＜$\frac{4}{3}$；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a＜-$\frac{5}{4}$或a≥1.其中正确的结论是__________.

答案： ①②③ 提示：由题知抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{-4a}{2a}=2$，$\therefore\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{2 + m + 2 - m}{2}=2$，$\therefore x_{1}$与$x_{2}$关于对称轴对称，$\therefore$ 对任意实数$m$，都有$x_{1}=2 + m$与$x_{2}=2 - m$对应的函数值相等，$\therefore$ ①正确.当$a＞0$时，若$3\leqslant x\leqslant4$，则$y$随$x$的增大而增大，当$x = 3$时，$y = 9a-12a - 5=-3a - 5$，当$x = 4$时，$y = 16a-16a - 5=-5$，$\therefore-3a - 5\leqslant y\leqslant-5$. $\because y$的整数值有$4$个，$\therefore-9＜-3a - 5\leqslant-8$.$\therefore1\leqslant a＜\frac{4}{3}$.当$a＜0$时，若$3\leqslant x\leqslant4$，则$y$随$x$的增大而减少，$\therefore-5\leqslant y\leqslant-3a - 5$. $\because y$的整数值有$4$个，$\therefore-2\leqslant-3a - 5＜-1$. $\therefore-\frac{4}{3}＜a\leqslant-1$.综上：$-\frac{4}{3}＜a\leqslant-1$或$1\leqslant a＜\frac{4}{3}$. $\therefore$ ②正确.设$A(x_{1},0)$，$B(x_{2},0)$，且$x_{1}＜x_{2}$.可知$x_{1}$，$x_{2}$是方程$ax^{2}-4ax - 5 = 0$的根. $\therefore x_{1}+x_{2}=4$，$x_{1}x_{2}=-\frac{5}{a}$.$\therefore AB=x_{2}-x_{1}=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{16+\frac{20}{a}}$. $\because AB\leqslant6$，$\therefore0＜16+\frac{20}{a}\leqslant36$. $\therefore a\geqslant1$或$a＜0$.又$\because$ 抛物线与$x$轴有两个不同的交点，$\therefore\Delta = 16a^{2}+20a＞0$. $\therefore a＞0$或$a＜-\frac{5}{4}$.综上：$a\geqslant1$或$a＜-\frac{5}{4}$.$\therefore$ ③正确.

13. 几何直观如图，已知抛物线与x轴交于A(1,0)和B(-5,0)两点，与y轴交于点C.直线y=-3x+3过抛物线的顶点P.
(1)求抛物线的表达式；
(2)若直线x=m(-5＜m＜0)与抛物线交于点E，与直线BC交于点F.
①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；
②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标.

答案： 解：
(1)
∵ 抛物线与$x$轴交于$A(1,0)$和$B(-5,0)$两点，$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{1 - 5}{2}=-2$，在$y=-3x + 3$中，令$x=-2$，则$y = 9$，$\therefore$ 抛物线的顶点为$(-2,9)$，设抛物线的表达式为$y=a(x + 2)^{2}+9$，将$A(1,0)$代入，得$0 = 9a + 9$，解得$a=-1$，$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-(x + 2)^{2}+9=-x^{2}-4x + 5$；
(2)①如图，在$y=-x^{2}-4x + 5$中，令$x = 0$，得$y = 5$，$\therefore C(0,5)$，由$B(-5,0)$，$C(0,5)$易得直线$BC$的表达式为$y = x + 5$，$\because E(m,-m^{2}-4m + 5)$，$F(m,m + 5)$，$\therefore EF=-m^{2}-4m + 5-(m + 5)=-m^{2}-5m=-(m+\frac{5}{2})^{2}+\frac{25}{4}$，$\because-1＜0$，$\therefore$ 当$m=-\frac{5}{2}$时，$EF$取最大值，为$\frac{25}{4}$；②$\because E(m,-m^{2}-4m + 5)$，$F(m,m + 5)$，$C(0,5)$，$\therefore$ 易得$EF^{2}=(m^{2}+5m)^{2}$，$EC^{2}=m^{2}+(m^{2}+4m)^{2}$，$FC^{2}=2m^{2}$；若$EF = EC$，则$(m^{2}+5m)^{2}=m^{2}+(m^{2}+4m)^{2}$，解得$m = 0$（$E$与$C$重合，舍去）或$m=-4$，$\therefore E(-4,5)$；若$EF = FC$，则$(m^{2}+5m)^{2}=2m^{2}$，解得$m = 0$（舍去）或$m=\sqrt{2}-5$或$m=-\sqrt{2}-5$（不符合题意，舍去），$\therefore E(\sqrt{2}-5,-2 + 6\sqrt{2})$；若$EC = FC$，则$m^{2}+(m^{2}+4m)^{2}=2m^{2}$，解得$m = 0$（舍去）或$m=-3$或$m=-5$（不符合题意，舍去），$\therefore E(-3,8)$；综上所述，$E$的坐标为$(-4,5)$或$(\sqrt{2}-5,-2 + 6\sqrt{2})$或$(-3,8)$.