《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

1. 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0),B(2,0),C(3,5).
(1)求过点A,C的直线表达式和过点A,B,C的抛物线的表达式;
(2)求过点A,B及抛物线的顶点D的⊙P的圆心P的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点Q,使AQ与⊙P相切? 若存在,请求出点Q的坐标.
　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)
∵A(-2,0),B(2,0)，
∴设二次函数的表达式为y=a(x - 2)·(x + 2)，把(3,5)代入得a = 1，
∴二次函数的表达式为y=x² - 4.
设一次函数的表达式为y=kx + b(k≠0)，把(-2,0),(3,5)代入得
$\begin{cases}-2k + b = 0 \\ 3k + b = 5\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1 \\ b = 2\end{cases}$，
∴一次函数的表达式为y=x + 2；
(2)设点P的坐标为(0,$P_y$)，由
(1)知点D的坐标为(0,-4)，
∵A，B，D三点在⊙P上，
∴PB = PD，
∴$2^{2}+P_y^{2}=(4 + P_y)^{2}$，解得$P_y=-\frac{3}{2}$，
∴点P的坐标为$(0,-\frac{3}{2})$；
(3)在抛物线上存在这样的点Q使直线AQ与⊙P相切，
设点Q的坐标为(m,$m^{2}-4$)，
则$AQ^{2}=(m + 2)^{2}+(m^{2}-4)^{2}$，
$PQ^{2}=m^{2}+(m^{2}-4+\frac{3}{2})^{2}$，
$AP^{2}=OA^{2}+OP^{2}=\frac{25}{4}$，
∵直线AQ是⊙P的切线，
∴AP⊥AQ，
∴$PQ^{2}=AP^{2}+AQ^{2}$，
即$m^{2}+(m^{2}-4+\frac{3}{2})^{2}=\frac{25}{4}+[(m + 2)^{2}+(m^{2}-4)^{2}]$，解得$m_1=\frac{10}{3}$，$m_2=-2$（与点A重合，舍去），
∴点Q的坐标为$(\frac{10}{3},\frac{64}{9})$.

2. 易错题 如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形,点A,B在x轴上,△MBC是边长为2的等边三角形,过点M作直线l与x轴垂直,交⊙M于点E,垂足为点M,且点D平分$\overset{\frown}{AC}$.
(1)求过A,B,E三点的抛物线的表达式;
(2)求证:四边形AMCD是菱形;
(3)请问在抛物线上是否存在一点P,使得△ABP的面积等于定值5? 若存在,请求出所有的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)由题意可知，△MBC为等边三角形，点A，B，C，E均在⊙M上，
则MA = MB = MC = ME = 2，
又
∵CO⊥MB，
∴MO = BO = 1，
∴A(-3,0),B(1,0),E(-1,-2)，可设函数表达式为y=a(x + 3)(x - 1)(a≠0)，把(-1,-2)代入上式，解得$a=\frac{1}{2}$，故二次函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x + 3)(x - 1)=\frac{1}{2}(x + 1)^{2}-2$；
(2)证明：在题图中连接DM，
∵△MBC为等边三角形，
∴∠CMB = 60°，
∴∠AMC = 120°，
∵点D平分$\overset{\frown}{AC}$，
∴∠AMD = ∠CMD=$\frac{1}{2}$∠AMC = 60°，
∵MD = MC = MA，
∴△MCD，△MDA是等边三角形，
∴DC = CM = MA = AD，
∴四边形AMCD为菱形；
(3)存在.设点P的坐标为(m,n)，
∵$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB|n|$，AB = 4，
∴$\frac{1}{2}\times4\times|n| = 5$，即$2|n| = 5$，解得$n=\pm\frac{5}{2}$，
当$n=\frac{5}{2}$时，$\frac{1}{2}(m + 1)^{2}-2=\frac{5}{2}$，
解得$m_1 = 2$，$m_2=-4$，
即点P的坐标为$(2,\frac{5}{2})$，$(-4,\frac{5}{2})$，
当$n=-\frac{5}{2}$时，$\frac{1}{2}(m + 1)^{2}-2=-\frac{5}{2}$，无实数解，故所求点P坐标为$(2,\frac{5}{2})$，$(-4,\frac{5}{2})$.

3. 如图,以E(3,0)为圆心,5为半径的⊙E与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过A,B,C三点,顶点为F.
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)求抛物线的表达式及顶点F的坐标;
(3)已知P是抛物线上位于第四象限的点,且满足S△ABP=S△ABC,连接PF,判断直线PF与⊙E的位置关系,并说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)
∵以E(3,0)为圆心，5为半径的⊙E与x轴交于A，B两点，
∴A(-2,0),B(8,0).
如图，连接CE.在Rt△OCE中，OE = 3，CE = 5，由勾股定理得$OC=\sqrt{CE^{2}-OE^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$，
∴C(0,-4)；
(2)
∵点A(-2,0),B(8,0)在抛物线上，
∴可设抛物线的表达式为y=a(x + 2)·(x - 8)，
∵点C(0,-4)在抛物线上，
∴-4 = a×2×(-8)，解得$a=\frac{1}{4}$，
∴抛物线的表达式为$y=\frac{1}{4}(x + 2)(x - 8)=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{3}{2}x - 4=\frac{1}{4}(x - 3)^{2}-\frac{25}{4}$，
∴顶点F的坐标为$(3,-\frac{25}{4})$；
(3)直线PF与⊙E相切.理由如下：
∵在△ABC中，底边AB上的高OC = 4，
∴若△ABC与△ABP面积相等，则抛物线上的点P须满足条件：$|y_P| = 4$，
∵点P在第四象限，
∴$y_p=-4$，则$\frac{1}{4}x^{2}-\frac{3}{2}x - 4=-4$，
整理得$x^{2}-6x = 0$，
解得x = 6或x = 0（与点C重合，舍去），
∴点P的坐标为(6,-4)，
如图，连接EP，过点P作PG⊥对称轴EF于点G，则PG = 3，EG = 4，
在Rt△PEG中，由勾股定理得$PE=\sqrt{EG^{2}+PG^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5$，
∴点P在⊙E上.
由
(2)知，顶点F的坐标为$(3,-\frac{25}{4})$，
∴$EF=\frac{25}{4}$，
∴$FG=EF - EG=\frac{9}{4}$，
在Rt△PGF中，由勾股定理得$PF=\sqrt{PG^{2}+GF^{2}}=\sqrt{3^{2}+(\frac{9}{4})^{2}}=\frac{15}{4}$，
在△EFP中，
∵$EP^{2}+PF^{2}=5^{2}+(\frac{15}{4})^{2}=(\frac{25}{4})^{2}=EF^{2}$，
∴△EFP为直角三角形，∠EPF = 90°，
又
∵点P在⊙E上，
∴直线PF与⊙E相切.