《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

10. 推理能力 李明同学在研究一道直线和圆的关系的题目时，有如下发现：如图1，点B是⊙O外一点，射线BC经过点O与⊙O交于点M和点N，BP是∠ABC的平分线，BA与⊙O相切于点D，过点D作BP的垂线交BP于点E，交BC于点F，交⊙O于点G。当∠ABC = 60°时，可以得到FG = 2DF。
(1)李明的研究结论正确吗？若正确，请证明；若不正确，请说明原因；
(2)如图2，如果我们将∠ABC的角度变小，使得BA与⊙O相交于点D和D'，过点D'作BP的垂线交BP于点E'，交BC于点F'，交⊙O于点G'，其他条件保持不变，请你猜想F'G'与FG之间的关系，并证明。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　C 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)李明的研究结论正确，证明：在题图1中连接OD，OG，
∵BA是⊙O的切线，
∴∠BDO = 90°，
∵∠ABC = 60°，BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP = ∠CBP = 30°，∠BOD = 30°，由题知∠BED = ∠BEF = 90°，
∴∠BDF = ∠BFD = ∠OFG = 60°，
∴∠ODG = ∠BOD = 30°，
∴DF = OF，
∵OD = OG，
∴∠OGD = ∠ODG = 30°，
∴∠BOG = 180° - ∠OGD - ∠OFG = 90°，
∴在Rt△OFG中，FG = 2OF，即FG = 2DF；
(2)F'G'与FG平行且相等，证明：在题图2中连接G'G，
∵D'G'⊥BP，DG⊥BP，
∴D'G'//DG，即F'G'//FG，
∵D'G'⊥BP，BP平分∠ABC，
∴△BD'F为等腰三角形，
∴∠BD'F' = ∠BF'D'，
∵∠BF'D' = ∠FF'G'，
∴∠BD'F = ∠FFG'，
∵四边形D'G'GD是⊙O的内接四边形，
∴易知∠BD'F' = ∠G，
∵F'G'//FG，
∴∠G'+∠G = 180°，
∴∠G'+∠BD'F' = 180°，
即∠G'+∠FF'G' = 180°，
∴F'F//G'G，
∴四边形F'G'GF为平行四边形，
∴F'G' = FG，综上，F'G'与FG平行且相等.

①____；②____；③____；④____；⑤____；⑥____

答案： ＜；=；＞；相交；相切；相离

11. 我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一个简易操作工具——三分角器，如图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆O的半径相等，DB垂直AC于点B，DB足够长。使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了。
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明。如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程。
已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，____________________。
求证：____________________。
　　　　　　 　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：半圆O与EN相切于点F，AB = OB，EB，EO是∠MEN的三等分线
证明：
∵EB⊥AC，
∴∠ABE = ∠0BE = 90°，
∵AB = OB，BE = BE，
∴△ABE≌△OBE(SAS)，
∴∠1 = ∠2，
∵BE⊥OB，
∴BE是⊙O的切线，
∵EN切半圆O于点F，易证∠2 = ∠3，
∴∠1 = ∠2 = ∠3，
∴EB，EO是∠MEN 三等分线.