《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

1. 习题变式教材P52，AT1改编 下列二次函数的图像与$x$轴只有一个交点的是 ( )
A. $y = x^{2}+2x - 1$
B. $y = - 2x^{2}+7x - 7$
C. $y = 4x^{2}-12x + 9$
D. $y = x^{2}-4x + 16$

答案： C

2. 习题变式教材P53，AT2改编 二次函数$y = kx^{2}-6x + 3$的图像与$x$轴有交点，则$k$的取值范围是( )
A. $k＜3$
B. $k＜3$且$k\neq0$
C. $k\leqslant3$
D. $k\leqslant3$且$k\neq0$

答案： D

3. 习题衍生教材P53，AT1改编 若二次函数$y = ax^{2}-4x + a$的图像与$x$轴有两个交点，其中$a$为非负整数，则$a =$____________

答案： 1

4. 习题变式教材P57，BT1改编 已知二次函数$y = x^{2}-2mx + m^{2}+3$.$(m$是常数$)$
(1)求证：不论$m$为何值，该函数的图像与$x$轴没有公共点；
(2)把该函数的图像沿$y$轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与$x$轴只有一个公共点？

答案： 解：
(1)证明：
∵$b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4×1×(m^{2}+3)=4m^{2}-4m^{2}-12=-12＜0$，
∴方程$x^{2}-2mx+m^{2}+3=0$没有实数解，即不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点；
(2)$y=x^{2}-2mx+m^{2}+3=(x - m)^{2}+3$，把函数$y=(x - m)^{2}+3$的图像沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数$y=(x - m)^{2}$的图像，它的顶点坐标是$(m,0)$，这个函数的图像与x轴只有一个公共点.

5. 例题变式教材P51，例改编 二次函数$y = - x^{2}+2x + m$的部分图像如图所示，则关于$x$的一元二次方程$-x^{2}+2x + m = 0$的解为 ( )

A. $-1,0$
B. $-1,1$
C. $1,3$
D. $-1,3$

答案： D

6. 习题变式教材P52，AT1改编 函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像如图所示，关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c - 4 = 0$的根的情况是 ( )


A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根
D. 有两个异号的实数根

答案： A

7. 例题变式教材P51，例改编 二次函数$y = x^{2}+bx + c$的图像如图所示，关于$x$的方程$x^{2}+bx + c = 0$的解是__________.

答案： $x_{1}=-3,x_{2}=1$

8. 习题衍生教材P52，AT1改编 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(k + 5)x + 3k + 6 = 0$.
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程有一个根大于$-3$且小于$-1$，$k$为整数，求$k$的值.

答案： 解：
(1)证明：
∵$x^{2}-(k + 5)x+3k + 6=0$，
∴$\Delta=[-(k + 5)]^{2}-4×1×(3k + 6)=(k - 1)^{2}\geq0$，
∴此方程总有两个实数根；
(2)
∵$x^{2}-(k + 5)x+3k + 6=0$，
∴$(x - 3)[x-(k + 2)]=0$，
∴$x_{1}=3,x_{2}=k + 2$，
∵此方程有一个根大于-3且小于-1，
∴$\begin{cases}k + 2＞-3\\k + 2＜-1\end{cases}$，解得$-5＜k＜-3$，
∵k为整数，
∴$k=-4$.