《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

1. 如图，AB是⊙O的直径，AB = 2，点C在⊙O上，∠CAB = 30°，D为BC的中点，P是直径AB上一动点，则PC + PD的最小值为 ______.

答案：
$\sqrt{2}$ 提示:如图，作D关于AB的对称点D'，连接OC,OD',CD',AD'，
∵点C在⊙O上，∠CAB = 30°，D为BC的中点，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠CAB = 15°，
又
∵BD = BD'，
∴∠BAD = ∠BAD' = 15°，
∴∠CAD' = 30° + 15° = 45°，
∴∠COD' = 2∠CAD' = 90°，△COD'是等腰直角三角形。
∵OC = OD'=$\frac{1}{2}$AB = 1，
∴CD'=$\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，
∴当点P为CD'与AB的交点时，PC + PD有最小值，最小值为$\sqrt{2}$

2. 较难题 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，BC = 4√2，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 ________.

答案：
2$\sqrt{5}$ - 2 提示:连接AE，如图1，
∵∠BAC = 90°，AB = AC，BC = 4$\sqrt{2}$，
∴AB = AC = 4，AD为直径，
∴∠AED = 90°，
∴∠AEB = 90°，
∴点E在以AB为直径的⊙O上(如图2)，
∵⊙O的半径为$\frac{1}{2}$AB = 2，
∴当点O，E，C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中，
∵OA = 2，AC = 4，
∴OC=$\sqrt{OA^{2}+AC^{2}} = 2\sqrt{5}$，
∴CE = OC - OE = 2$\sqrt{5}$ - 2，
即线段CE长度的最小值为2$\sqrt{5}$ - 2。

3. 如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB = 8，∠CBA = 30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，则线段EF的最小值为 ______.

答案：
4$\sqrt{3}$ 提示:如图，连接CD，
∵点E与点D关于AC对称，
∴CE = CD，
∴∠CED = ∠CDE，
∵∠EFD + ∠CED = 90°，
∠CDF + ∠CDE = 90°，
∴∠F = ∠CDF，
∴CE = CD = CF，
∴EF = 2CD，当CD⊥AB时，CD取得最小值，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB = 90°。
∵AB = 8，∠CBA = 30°，
∴AC = 4，BC = $\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}} = 4\sqrt{3}$。
∵CD⊥AB，∠CBA = 30°，
∴CD=$\frac{1}{2}BC = 2\sqrt{3}$，
∴线段EF的最小值为2CD = 4$\sqrt{3}$。

4. 数形结合思想 如图，已知线段AB = 4，C为线段AB上的一个动点(不与点A，B重合)，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，⊙O外接于三角形CDE，则⊙O半径的最小值为 __________.

答案：
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 提示:如图，分别作∠DAC与∠EBC的平分线，交点为P，
∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AP与BP分别为CD，CE的垂直平分线，
又
∵圆心O在CD，CE垂直平分线上，
∴交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点，连接OC，若半径OC最短，则OC⊥AB，
又
∵∠OAC = ∠OBC = 30°，AB = 4，
∴OA = OB，
∴AC = BC = 2，
∴在Rt△AOC中，AO = 2OC，
∵OA² = AC² + OC²，
∴(2OC)² = 2² + OC²，解得OC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

5. 几何直观 如图，AB是⊙O的一条弦，C是⊙O上一动点且∠ACB = 45°，E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于点G，H.若⊙O的半径为2.求GE + FH的最大值.

答案：
解:如图，连接OA，OB，
∵∠ACB = 45°，
∴∠AOB = 2∠ACB = 90°，
∵OA = OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB = 2$\sqrt{2}$，
∵点E，F分别为AC，BC的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$，
∴当GH为⊙O的直径时，GE + FH有最大值，
此时GE + FH = GH - EF = 4$\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。

6. 如图，已知直线y = x + 4与两坐标轴分别交于A，B两点，⊙C的圆心坐标为(2,0)，半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，求△ABE面积的最小值和最大值.

答案：
解:y = x + 4，
∵当x = 0时，y = 4，当y = 0时，x = -4，
∴OA = 4，OB = 4，
∵△ABE的边BE上的高是OA，
∴△ABE的边BE上的高是4，
∴要使△ABE的面积最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可，过点A作⊙C的两条切线，如图，当切线为AD时，BE最小，即△ABE的面积最小；当切线为AD'时，BE'最大，即△ABE'的面积最大；
∵x轴⊥y轴，OC为半径，
∴EE'是⊙C切线，
∵AD'是⊙C切线，
∴OE' = E'D'，设E'O = E'D' = x，
∵AC = 4 + 2 = 6，CD' = 2，AD'是切线，
∴∠AD'C = 90°，由勾股定理得
AD' = 4$\sqrt{2}$，则AE' = 4$\sqrt{2}-x$，
在Rt△AOE'中，AE'² = AO² + OE'²，
即(4$\sqrt{2}-x$)² = 4² + x²，解得x=$\sqrt{2}$，
∴BE' = 4+$\sqrt{2}$，BE = 4-$\sqrt{2}$，
∴△ABE面积的最小值是$\frac{1}{2}$×(4-$\sqrt{2}$)×4 = 8 - 2$\sqrt{2}$，最大值是$\frac{1}{2}$×(4+$\sqrt{2}$)×4 = 8 + 2$\sqrt{2}$。