《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

18. 几何直观 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4.作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F.
(1)求AF的长；
(2)若以点A为圆心作圆，B，C，D，E，F 5个点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围.

答案： 解：
(1)矩形ABCD中，AB = 3，AD = 4，
∴AC = BD = $\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ = 5，
∵AF⊥BD，
∴$\frac{1}{2}$AF·BD = $\frac{1}{2}$AB·AD，
∴AF = $\frac{3×4}{5}$ = $\frac{12}{5}$；
(2)由
(1)得AC = BD = 5，
∵DE⊥AC，
∴$\frac{1}{2}$AC·DE = $\frac{1}{2}$CD·AD，
∴DE = $\frac{3×4}{5}$ = $\frac{12}{5}$，
∴AE = $\sqrt{AD^{2}-DE^{2}}$ = $\frac{16}{5}$，
∴AF ＜ AB ＜ AE ＜ AD ＜ AC，
∵若以点A为圆心作圆，B，C，D，E，F5个点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D，C在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围为$\frac{12}{5}$ ＜ r ＜ 4.

19. 应用意识 如图，城市A的正北方向50 km的B处，有一无线电信号发射塔.已知，该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100 km，AC是一条直达C城的公路，从A城发往C城的班车速度为60 km/h.
(1)当班车从A城出发开往C城时，某人立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5 h的时候，接收信号最强，此时，班车到发射塔的距离是多少千米?(离发射塔越近，信号越强)
(2)班车从A城到C城共行驶2 h，请你判断到C城是否还能接收到信号，并请说明理由.

答案：
解：
(1)如图，设班车行驶了0.5 h的时候到达点M，连接BM，根据此时接收信号最强，得BM⊥AC，又AM = 60×0.5 = 30(km)，AB = 50 km，
∴BM = $\sqrt{AB^{2}-AM^{2}}$ = $\sqrt{50^{2}-30^{2}}$ = 40(km).
答：信号最强时，班车到发射塔的距离是40 km；

(2)能，理由：如图，连接BC，
∵AC = 60×2 = 120(km)，AM = 30 km，
∴CM = AC - AM = 90 km，
∴BC = $\sqrt{CM^{2}+BM^{2}}$ = 10$\sqrt{97}$ km ＜ 100 km.
∴C城在信号发射范围内，
∴到C城后还能收到信号.

20. 中考新考法新定义型阅读理解题 如图1，⊙O的半径为r(r＞0)，若点P'在射线OP上，满足OP'·OP=r²，则称点P'是点P关于⊙O的“反演点”.如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A'，B'分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A'B'的长.

答案：
解：设OA交⊙O于点C，连接BC，如图，
∵OA'·OA = r²，而r = 4，OA = 8，
∴OA' = 2.连接BA'.
∵OB'·OB = 4²，
∴OB' = 4，即点B和B'重合.
∵∠BOA = 60°，OB = OC，
∴△OBC为等边三角形.
又易知点A'为OC的中点，
∴B'A'⊥OC，在Rt△OA'B'中，sin∠A'OB' = $\frac{A'B'}{OB'}$，
∴A'B' = 4sin60° = 2$\sqrt{3}$.

21. 阅读理解题运算能力 小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论：P1P2=$\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$；他还证明了线段P1P2的中点P(x,y)的坐标公式是：x=$\frac{x_1 + x_2}{2}$，y=$\frac{y_1 + y_2}{2}$.
启发应用
请利用上面的信息，解答下面的问题：
如图，在平面直角坐标系中，已知A(8,0)，B(0,6)，C(1,7)，⊙M经过原点O及点A，B.
(1)求⊙M的半径及圆心M的坐标；
(2)判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由.

答案： 解：
(1)
∵∠AOB = 90°，
∴AB是⊙M的直径，
∵A(8,0)，B(0,6)，
∴AB = $\sqrt{(0 - 8)^{2}+(6 - 0)^{2}}$ = 10，
∴⊙M的半径为5.设点M的坐标为(x,y)，
由线段中点坐标公式x = $\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$，y = $\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$，得x = 4，y = 3，
∴M(4,3)；
(2)点C在⊙M上，理由：
∵C(1,7)，M(4,3)，
∴MC = $\sqrt{(1 - 4)^{2}+(7 - 3)^{2}}$ = 5，
∴点C在⊙M上.