《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

13. (10分)如图，已知△ABC中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，以点C为圆心作⊙C，半径为r.
(1)当r取什么值时，点A，B在⊙C外?
(2)当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外?
　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)若点$A$，$B$在$\odot C$外，则$AC ＞ r$，$\because AC = 3$，$\therefore 0 ＜ r ＜ 3$；
(2)若点$A$在$\odot C$内，点$B$在$\odot C$外，则$AC ＜ r ＜ BC$，$\because AC = 3$，$BC = 4$，$\therefore 3 ＜ r ＜ 4$.

14. (10分)几何直观 如图，在△ABC中，∠BAC = 90°，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E在AB上，连接DE并延长交CA的延长线于点F，且∠AEF = 2∠C.
(1)判断直线FD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AE = 2，EF = 4，求⊙O的半径.
　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)直线$FD$与$\odot O$相切.
理由：如图，连接$OD$，$\because\angle AEF = 2\angle C$，$\angle AOD = 2\angle C$，$\therefore\angle AEF = \angle AOD$，
$\because\angle AEF+\angle AED = 180^{\circ}$，$\therefore\angle AOD+\angle AED = 180^{\circ}$，$\because\angle BAC = 90^{\circ}$，$\therefore\angle ODF = 90^{\circ}$，$\because OD$是$\odot O$的半径，$\therefore$直线$FD$与$\odot O$相切；

(2)$\because\angle BAC = 90^{\circ}$，$AE = 2$，$EF = 4$，
$\therefore\angle F = 30^{\circ}$，$\therefore AF = \sqrt{3}AE = 2\sqrt{3}$，
$\because\angle ODF = 90^{\circ}$，$\therefore OF = 2OD$，$\because OA = OD$，
$\therefore OD = FA$，$\therefore\odot O$的半径为$2\sqrt{3}$.

15. (11分)如图，已知△ABC，其中∠A = 60°.
(1)请作出△ABC的内切圆⊙O；
(2)试求(1)中∠BOC的度数.

答案：
解：
(1)如图，①分别作$\angle ABC$与$\angle ACB$的平分线，两角平分线的交点为点$O$；②过点$O$作$OD\perp BC$于点$D$；③以$O$为圆心，$OD$长为半径画圆，则$\odot O$为所求的$\triangle ABC$的内切圆；

(2)$\because\angle A = 60^{\circ}$，$\therefore\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}-\angle A = 120^{\circ}$，$\because BO$，$CO$分别是$\angle ABC$与$\angle ACB$的平分线，
$\therefore\angle OBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle OCB=\frac{1}{2}\angle ACB$，$\therefore\angle OBC+\angle OCB=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)=60^{\circ}$，$\therefore\angle BOC = 180^{\circ}-(\angle OBC+\angle OCB)=120^{\circ}$.

16. (11分)数形结合思想 如图，PA与⊙O相切于点A，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于点D，已知OP = 4，∠OPA = 30°.求OC和AB的长.

答案： 解：$\because PA$与$\odot O$相切于点$A$，
$\therefore\angle OAP = 90^{\circ}$.$\because$在$Rt\triangle OAP$中，$\angle OPA = 30^{\circ}$，$\therefore\angle AOP = 60^{\circ}$.
$\because AB\perp OP$，$\therefore\angle OAC = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$，
$\therefore OA=\frac{1}{2}OP = 2$，$OC=\frac{1}{2}OA = 1$，
$\therefore AC=\sqrt{OA^{2}-OC^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$，
又$\because OC\perp AB$，$\therefore AB = 2AC = 2\sqrt{3}$.

17. (13分)推理能力 如图，在△ABC中，AB = AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠CBF = $\frac{1}{2}$∠CAB.
(1)求证：直线BF是⊙O的切线；
(2)若AB = 5，sin∠CBF = $\frac{\sqrt{5}}{5}$，求BC和BF的长.
　　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)证明：如图，连接$AE$，$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore\angle AEB = 90^{\circ}$，$\therefore\angle 1+\angle 2 = 90^{\circ}$，$\because AB = AC$，$\therefore\angle 1=\frac{1}{2}\angle CAB$，
$\because\angle CBF=\frac{1}{2}\angle CAB$，$\therefore\angle 1=\angle CBF$，
$\therefore\angle CBF+\angle 2 = 90^{\circ}$，即$\angle ABF = 90^{\circ}$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore$直线$BF$是$\odot O$的切线；
(2)如图，过点$C$作$CG\perp AB$于点$G$.
$\because\sin\angle CBF=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\angle 1=\angle CBF$，
$\therefore\sin\angle 1=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\because$在$Rt\triangle AEB$中，$\angle AEB = 90^{\circ}$，$AB = 5$，$\therefore BE = AB\cdot\sin\angle 1=\sqrt{5}$，$\because AB = AC$，$\angle AEB = 90^{\circ}$，$\therefore BC = 2BE = 2\sqrt{5}$，在$Rt\triangle ABE$中，$AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=2\sqrt{5}$，$\therefore\sin\angle 2=\frac{AE}{AB}=\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{CG}{BC}=\frac{CG}{2\sqrt{5}}$，$\cos\angle 2=\frac{BE}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{BG}{BC}=\frac{BG}{2\sqrt{5}}$，
$\therefore GC = 4$，$GB = 2$，$\therefore AG = 5 - 2 = 3$，
$\because\angle CGB = 90^{\circ}$，$\angle ABF = 90^{\circ}$，$\therefore GC// BF$，
$\therefore\triangle AGC\sim\triangle ABF$，$\therefore\frac{GC}{BF}=\frac{AG}{AB}$，
$\therefore BF=\frac{GC\cdot AB}{AG}=\frac{4\times5}{3}=\frac{20}{3}$.