《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

20. 几何直观 已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的部分图像如图所示，若$y＞0$，则$x$的取值范围是____.

答案： $-1＜x＜3$

21. 已知抛物线$y = x^{2}+2x - 1$的对称轴为$l$，如果点$M(-3,0)$与点$N$关于这条对称轴$l$对称，那么点$N$的坐标是____________.

答案： $(1,0)$ 提示：$\because$抛物线$y=x^{2}+2x - 1$的对称轴为$l$，$\therefore l$为直线$x=-\frac{2}{2\times1}=-1$，$\because$点$M(-3,0)$与点$N$关于这条对称轴$l$对称，$\therefore$设$N(a,0)$，则$\frac{-3 + a}{2}=-1$，解得$a = 1$，故点$N$的坐标为$(1,0)$.

22. 已知二次函数$y = x^{2}-4x + 3$.
(1)用配方法求出二次函数图像的顶点坐标和对称轴；
(2)在平面直角坐标系中画出它的图像；
(3)当$x$在什么范围内时，$y$随$x$的增大而增大？当$x$在什么范围内时，$y$随$x$的增大而减小？

答案：
解：
(1)$\because y=x^{2}-4x + 3=(x - 2)^{2}-1$，$\therefore$顶点坐标为$(2,-1)$，对称轴为直线$x = 2$；
(2)作图如下：

(3)$\because y=x^{2}-4x + 3$图像的对称轴是直线$x = 2$，开口向上，$\therefore$当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小.

23. 如图，二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像与$x$轴交于$B$，$C$两点，交$y$轴于点$A$.
(1)根据图像确定$a$，$b$，$c$的符号；
(2)如果$OC = OA=\frac{1}{3}OB$，$BC = 4$，分别求出点$A$，$B$，$C$的坐标.

答案： 解：
(1)$\because$抛物线开口向上，$\therefore a＞0$.又$\because$对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜0$，$\therefore a$，$b$同号，即$b＞0$.$\because$抛物线与$y$轴交于负半轴，$\therefore c＜0$.综上所述，$a＞0$，$b＞0$，$c＜0$；
(2)$\because OC = OA=\frac{1}{3}OB$，$BC = 4$，$\therefore OC = OA = 1$，$OB = 4 - 1 = 3$，$\therefore$点$A$的坐标为$(0,-1)$，点$B$的坐标为$(-3,0)$，点$C$的坐标为$(1,0)$.

24. 较难题 已知二次函数$y = -x^{2}+2kx + 1 - k$.（$k$是常数）
(1)求此函数图像的顶点坐标；
(2)当$x\geqslant1$时，$y$随$x$的增大而减小，求$k$的取值范围；
(3)当$0\leqslant x\leqslant1$时，该函数有最大值3，求$k$的值.

答案： 解：
(1)$\because$抛物线的解析式为$y=-x^{2}+2kx + 1 - k=-(x - k)^{2}+1 - k + k^{2}$，$\therefore$抛物线的顶点坐标为$(k,1 - k + k^{2})$；
(2)$\because$抛物线的解析式为$y=-(x - k)^{2}+1 - k + k^{2}$，$\therefore$当$x\geq k$时，$y$随$x$的增大而减小，$\because$当$x\geq1$时，$y$随$x$的增大而减小，$\therefore k\leq1$；
(3)①当$k＜0$时，$x = 0$时，函数值最大，$\therefore 1 - k = 3$，解得$k=-2$；
②当$0\leq k\leq1$时，则$1 - k + k^{2}=3$，解得$k_{1}=2$，$k_{2}=-1$，不合题意，舍去；
③当$k＞1$时，$x = 1$时，函数值最大，$\therefore -1 + 2k + 1 - k = 3$，解得$k = 3$.
综上，当$0\leq x\leq1$时，该函数有最大值 3，则$k=-2$或$k = 3$.

25. 阅读定义法模型观念 如果一条抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$与坐标轴有三个交点，那么以这三个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.
(1)命题“任意抛物线都有抛物线三角形”是______（选填“真”或“假”）命题；
(2)若抛物线的解析式为$y = x^{2}-4x + 3$，求其“抛物线三角形”的面积.

答案： 解：
(1)假 提示：$\because$抛物线与$x$轴可能有 0 个、1 个、2 个交点，与$y$轴有 1 个交点，$\therefore$任意抛物线与坐标轴交点可能有 1 个、2 个、3 个，$\therefore$命题“任意抛物线都有抛物线三角形”是假命题；
(2)$\because$抛物线的解析式为$y=x^{2}-4x + 3$，$\therefore$抛物线与$y$轴交于点$(0,3)$，与$x$轴交于$(1,0)$，$(3,0)$两点，$\therefore$“抛物线三角形”的面积为$\frac{1}{2}\times2\times3 = 3$.