《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

21. 已知二次函数$y = 3(x - 2)^2 + 5$，则关于该函数的下列说法正确的是　　　　　　　　(　　　)
A. 该函数图像与$y$轴的交点坐标是$(0,5)$
B. 当$x＞2$时，$y$的值随$x$值的增大而减小
C. 当$x$取1和3时，所得到的$y$的值相同
D. 将$y = 3x^2$的图像先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到该函数图像

答案： C

22. 转化思想 如图，将函数$y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 + 1$的图像沿$y$轴向上平移得到新函数$y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 + 4$的图像，其中点$A(1,m),B(4,n)$平移后的对应点分别为点$A',B'$，则曲线段$AB$扫过的面积为　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)

A. 4
B. 6
C. 9
D. 12

答案： C

23. 较难题 如图，已知抛物线$C:y = \frac{1}{2}(x - 1)^2 - 1$，顶点为$D$，将$C$沿水平方向向右(或向左)平移$m$个单位长度，得到抛物线$C_1$，顶点为$D_1$，$C$与$C_1$相交于点$Q$，若$\angle DQD_1 = 60^{\circ}$，则$m$等于(　　　)

A. $\pm4\sqrt{3}$
B. $\pm2\sqrt{3}$
C. -2或$2\sqrt{3}$
D. -4或$4\sqrt{3}$

答案： A

24. 将抛物线$y = (x - 3)^2 - 2$向左平移____个单位长度后经过点$A(2,2)$.

答案： 3 提示：设将抛物线$y = (x - 3)^2 - 2$向左平移$a$个单位长度后经过点$A(2,2)$，$\therefore$设平移后解析式为$y = (x - 3 + a)^2 - 2$，则$2 = (2 - 3 + a)^2 - 2$，解得$a = 3$或$a = - 1$（不合题意舍去），故将抛物线$y = (x - 3)^2 - 2$向左平移3个单位长度后经过点$A(2,2)$.

25. 二次函数$y = (x - 1)^2 + 2$，当$x =$______时，$y$取得最小值.

答案： 1

26. 较难题如图，在平面直角坐标系中，点$A$是抛物线$y = a(x - 3)^2 + k$与$y$轴的交点，点$B$是这条抛物线上的另一点，且$AB// x$轴，则以$AB$为边的等边三角形$ABC$的周长为 ______.

答案： 18 提示：$\because$抛物线$y = a(x - 3)^2 + k$的对称轴为直线$x = 3$，且$AB// x$轴，$\therefore AB = 2\times3 = 6$，$\therefore$等边三角形$ABC$的周长为$3\times6 = 18$.

27. 若二次函数$y = (x - m)^2 - 1$，当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，则$m$的取值范围是________.

答案： $m\geqslant1$ 提示：$\because$二次函数$y = (x - m)^2 - 1$的二次项系数是$1 ＞ 0$，$\therefore$该二次函数的图像开口向上，又$\because$该二次函数图像的顶点坐标是$(m,-1)$，且对称轴为直线$x = m$，$\therefore$当$x ＜ m$时，$y$随$x$的增大而减小，已知当$x ＜ 1$时，$y$随$x$的增大而减小，$\therefore m\geqslant1$.

28. 二次函数$y = x^2$的图像如图所示，请将此图像向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度.画出经过两次平移后得到的图像，并写出其函数表达式的一般形式.

答案：
解：依题意得两次平移后得到$y = (x - 1)^2 - 2 = x^2 - 2x + 1 - 2 = x^2 - 2x - 1$的图像，$\therefore$平移后图像的表达式为$y = x^2 - 2x - 1$.画图如图所示：

29. 易错题 一抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线$y = a(x - 3)^2 - 1$，且平移后的抛物线经过点$A(2,1)$.
(1)求平移后抛物线的表达式;
(2)设原抛物线与$y$轴的交点为$B$，顶点为$P$，平移后抛物线的对称轴与$x$轴交于点$M$，求$\triangle BPM$的面积.

答案：
解：
(1)把$(2,1)$代入$y = a(x - 3)^2 - 1$，得$1 = a(2 - 3)^2 - 1$，解得$a = 2$，则平移后的抛物线表达式为$y = 2(x - 3)^2 - 1$；
(2)由
(1)知，平移后的抛物线表达式为$y = 2(x - 3)^2 - 1$，则$M(3,0)$，$\because$原抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线$y = 2(x - 3)^2 - 1$，$\therefore$平移前的抛物线表达式为$y = 2(x - 1)^2 - 1$，$\therefore P(1,-1)$.
令$x = 0$，则$y = 1$，故$B(0,1)$，
如图，$BP = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$，
$PM = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，
$BM = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$，
$BP^2 + PM^2 = BM^2$，
$\therefore\angle BPM = 90^{\circ}$，$\therefore S_{\triangle BPM} = \frac{1}{2}BP\cdot PM = \frac{5}{2}$.

30. 几何直观 如图，已知二次函数$y = a(x - h)^2 + \sqrt{3}$的图像经过原点$O(0,0),A(2,0)$.
(1)写出该函数图像的对称轴;
(2)若将线段$OA$绕点$O$逆时针旋转$60^{\circ}$到$OA'$，试判断点$A'$是不是该函数图像的顶点.

答案：
解：
(1)$\because$二次函数$y = a(x - h)^2 + \sqrt{3}$的图像经过原点$O(0,0)$，$A(2,0)$，由抛物线的对称性可得：$h = 1$，代入表达式可求得$a = - \sqrt{3}$，$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x = 1$；
(2)点$A'$是该函数图像的顶点.理由如下：如图，作$A'B\perp x$轴于点$B$，$\because$线段$OA$绕点$O$逆时针旋转$60^{\circ}$到$OA'$，$\therefore OA' = OA = 2$，$\angle A'OA = 60^{\circ}$，在$Rt\triangle A'OB$中，$\angle OA'B = 30^{\circ}$，$\therefore OB = \frac{1}{2}OA' = 1$，$\therefore A'B = \sqrt{3}OB = \sqrt{3}$，$\therefore$点$A'$的坐标为$(1,\sqrt{3})$，由
(1)知二次函数为$y = - \sqrt{3}(x - 1)^2 + \sqrt{3}$，顶点坐标为$(1,\sqrt{3})$，$\therefore$点$A'$为抛物线$y = - \sqrt{3}(x - 1)^2 + \sqrt{3}$的顶点.