《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

23. 已知抛物线的顶点为M(1,-2)，且经过点N(2,3)，求此二次函数的表达式.

答案： 解：已知抛物线的顶点为$M(1,-2)$，设此二次函数的表达式为$y = a(x - 1)^{2}-2$，把$(2,3)$代入表达式，得$a - 2 = 3$，即$a = 5$，
$\therefore$此函数的表达式为$y = 5(x - 1)^{2}-2$.

24. 如图，直线y=3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C，已知抛物线的对称轴为直线x=1.
(1)求抛物线的表达式；
(2)求抛物线的顶点坐标.

答案： 解：
(1)当$x = 0$时，$y = 3$，当$y = 0$时，$x = -1$，$\therefore A(-1,0)$，$B(0,3)$，$\because$抛物线的对称轴为直线$x = 1$，由对称性得$C(3,0)$，$\therefore$设抛物线的表达式为$y = a(x + 1)(x - 3)$，将$(0,3)$代入，得$a = -1$，
$\therefore$二次函数的表达式为$y = -(x + 1)\cdot(x - 3)= -x^{2}+2x + 3$；
(2)$\because y = -x^{2}+2x + 3=-(x - 1)^{2}+4$，$\therefore$抛物线的顶点坐标是$(1,4)$.

25. 较难题 已知二次函数的图像经过点(0,3)，(2,-5)，且与x轴交于A，B两点，其中A点的坐标为(-3,0).
(1)试确定此二次函数的表达式；
(2)判断点P(-2,3)是否在这个二次函数的图像上.如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由.

答案： 解：
(1)设二次函数的表达式为$y = ax^{2}+bx + c$，$\because$二次函数的图像经过点$(0,3)$，$(-3,0)$，$(2,-5)$，则有$\begin{cases}c = 3,\\9a - 3b + c = 0,\\4a + 2b + c = -5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a = -1,\\b = -2,\\c = 3,\end{cases}$
$\therefore$此二次函数的表达式为$y = -x^{2}-2x + 3$；
(2)$\because -(-2)^{2}-2\times(-2)+3 = -4 + 4 + 3 = 3$，
$\therefore$点$P(-2,3)$在这个二次函数的图像上，$\because$二次函数$y = -x^{2}-2x + 3$的图像与$x$轴的一个交点坐标为$(-3,0)$，且对称轴为直线$x = -1$，故与$x$轴的另一交点坐标为$(1,0)$，$\therefore AB = 4$，$\therefore S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}\times4\times3 = 6$.

26. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y=-x²+bx+c交于A(-1,0)和B(2,3)两点，抛物线与y轴交于点C.
(1)求一次函数和二次函数的解析式；
(2)求△ABC的面积.

答案： 解：
(1)$\because$直线$AB$与抛物线$y = -x^{2}+bx + c$交于$A(-1,0)$和$B(2,3)$两点，
$\therefore\begin{cases}-1 - b + c = 0,\\-4 + 2b + c = 3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b = 2,\\c = 3,\end{cases}$
$\therefore$抛物线解析式为$y = -x^{2}+2x + 3$，设直线$AB$的解析式为$y = mx + n(m\neq0)$，
则$\begin{cases}-m + n = 0,\\2m + n = 3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = 1,\\n = 1,\end{cases}$ $\therefore$直线$AB$的解析式为$y = x + 1$；
(2)在题图中连接$AC$，
令$x = 0$，则$y = -x^{2}+2x + 3 = 3$，
$\therefore C(0,3)$，则$OC = 3$，$BC = 2$，$BC// x$轴，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot OC=\frac{1}{2}\times2\times3 = 3$.

27. 阅读定义法 模型观念 我们规定：若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”.例如抛物线y=x²和y=(x - 1)²都是“数轴函数”.
(1)抛物线y=x²-4x+4和抛物线y=x²-6x是“数轴函数”吗?请说明理由；
(2)若抛物线y=2x²+4mx+m²+16是“数轴函数”，求该抛物线的表达式.

答案： 解：
(1)抛物线$y = x^{2}-4x + 4$是“数轴函数”，抛物线$y = x^{2}-6x$不是“数轴函数”.
理由：$\because y = x^{2}-4x + 4=(x - 2)^{2}$，$\therefore$抛物线顶点为点$(2,0)$，在$x$轴上，$\therefore$抛物线$y = x^{2}-4x + 4$是“数轴函数”；$\because y = x^{2}-6x=(x - 3)^{2}-9$，$\therefore$抛物线的顶点为点$(3,-9)$，在第四象限，$\therefore$抛物线$y = x^{2}-6x$不是“数轴函数”；
(2)抛物线$y = 2x^{2}+4mx + m^{2}+16 = 2(x + m)^{2}-m^{2}+16$，顶点坐标为$(-m,-m^{2}+16)$，由于抛物线$y = 2x^{2}+4mx + m^{2}+16$是“数轴函数”，所以分两种情况：
①当顶点在$x$轴上时，$-m^{2}+16 = 0$，解得$m = \pm4$，
抛物线表达式为$y = 2x^{2}+16x + 32$或$y = 2x^{2}-16x + 32$；
②当顶点在$y$轴上时，$-m = 0$，解得$m = 0$，抛物线表达式为$y = 2x^{2}+16$.
综上，抛物线表达式为$y = 2x^{2}+16x + 32$或$y = 2x^{2}-16x + 32$或$y = 2x^{2}+16$.