《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

31. 已知，点$A(m,n)$在函数$y_1 = (x - k)^2 + k(k\neq0)$的图像上，也在函数$y_2 = (x + k)^2 - k$的图像上.
(1)观察$y_1,y_2$图像的顶点位置，发现它们均在某个函数图像上，请写出这个函数表达式;
(2)若$k = 3$，当$-3＜x＜3$时，请比较$y_1,y_2$的大小.

答案： 解：
(1)$\because$函数$y_1 = (x - k)^2 + k(k\neq0)$，$y_2 = (x + k)^2 - k$，$\therefore$函数$y_1 = (x - k)^2 + k(k\neq0)$图像的顶点坐标为$(k,k)$，函数$y_2 = (x + k)^2 - k$图像的顶点坐标为$(-k,-k)$，$\therefore$它们均在函数$y = x$的图像上；
(2)当$k = 3$时，$y_1 = (x - 3)^2 + 3$，$y_2 = (x + 3)^2 - 3$，令$y_1 = y_2$，$\therefore(x - 3)^2 + 3 = (x + 3)^2 - 3$，解得$x = \frac{1}{2}$，$\therefore$它们图像的交点的横坐标为$\frac{1}{2}$，$\because a = 1 ＞ 0$，两函数图像开口向上，$\therefore$当$-3 ＜ x ＜ \frac{1}{2}$时，$y_1 ＞ y_2$，当$x = \frac{1}{2}$时，$y_1 = y_2$，当$\frac{1}{2} ＜ x ＜ 3$时，$y_1 ＜ y_2$.

32. 已知二次函数$y = (x + 2)^2 - 1$.
(1)在平面直角坐标系$xOy$中，画出这个二次函数的图像;
(2)观察图像，直接写出当$-3\leqslant x\leqslant0$时$y$的取值范围.

答案：
解：
(1)列表：
|$x$|$\cdots$|-4|-3|-2|-1|0|$\cdots$|
|$y$|$\cdots$|3|0|-1|0|3|$\cdots$|
描点、连线，画出图像为：

(2)观察图像可得，当$-3\leqslant x\leqslant0$时，$y$的取值范围是$-1\leqslant y\leqslant3$.

33. 已知二次函数$y = a(x - 1)^2 + 4$的图像经过点$(-1,0)$.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)判断这个二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.

答案： 解：
(1)把$(-1,0)$代入二次函数解析式得$4a + 4 = 0$，即$a = - 1$，则函数解析式为$y = -(x - 1)^2 + 4$；
(2)$\because a = - 1 ＜ 0$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x = 1$，顶点坐标为$(1,4)$.

34. 阅读定义法推理能力 定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于$n(n\geqslant0)$的点叫做这个函数图像的“$n$阶方点”.例如，点$(1,1)$是一次函数$y = x$图像的“1阶方点”.
(1)如图，已知抛物线$y = -(x + 1)^2 + 4$交$y$轴于点$C$，一次函数$y = ax + 2a + 3$的图像在二象限交抛物线于点$P$，点$Q$为该一次函数图像的“1阶方点”；
①求$\triangle PCQ$的面积的最大值；
②若一次函数$y = ax + 2a + 3$图像的“1阶方点”有且只有一个，求$a$的值；
(2)若抛物线$y = -(x - m)^2 - 2m + 2$的“$m$阶方点”一定存在，求$m$的取值范围.

答案：
解：
(1)$\because$一次函数$y = ax + 2a + 3 = a(x + 2)+3$，$\therefore$一次函数$y = ax + 2a + 3$的图像过定点$(-2,3)$，对于$y = -(x + 1)^2 + 4$，当$x = - 2$时，$y = -(-2 + 1)^2 + 4 = 3$，$\therefore(-2,3)$在抛物线上，$\therefore P(-2,3)$.
①$\because$点$Q$为该一次函数图像的“1阶方点”，$\therefore$当$Q$的纵坐标为$-1$时，$\triangle PCQ$面积最大.$\therefore\triangle PCQ$面积最大为$\frac{1}{2}\times2\times(1 + 3)=4$；
②$\because$一次函数$y = ax + 2a + 3$图像的“1阶方点”有且只有一个，$\therefore$在以$O$为中心，边长为2的正方形$ABCD$中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图像的“1阶方点”有且只有一个，当一次函数的图像过$(-1,-1)$时，$-1 = - a + 2a + 3$，解得$a = - 4$.当一次函数的图像过$(1,1)$时，$1 = a + 2a + 3$，解得$a = - \frac{2}{3}$.
综上：$a = - \frac{2}{3}$或$-4$；
(2)在以$O$为中心，边长为$2m$的正方形$ABCD$中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数$y = -(x - m)^2 - 2m + 2$图像的“$m$阶方点”一定存在，如图，$A(m,m)$，$C(-m,-m)$，$B(m,-m)$，$D(-m,m)$，当抛物线经过点$B$时，$-m = -(m - m)^2 - 2m + 2$，解得$m = 2$；当抛物线经过点$D$时，$m = -(-m - m)^2 - 2m + 2$，解得$m = \frac{-3 - \sqrt{41}}{8}$（舍）或$m = \frac{-3 + \sqrt{41}}{8}$，$\therefore\frac{-3 + \sqrt{41}}{8}\leqslant m\leqslant2$.