《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

10. 在平面直角坐标系内，抛物线y=ax²+bx+c经过原点O，A(-2,-2)与B(1,-5)三点.
(1)该抛物线的表达式为 ____________；
(2)该抛物线的顶点坐标为 ____________.

答案：
(1)$y = -2x^{2}-3x$
(2)$(-\frac{3}{4},\frac{9}{8})$
提示：
(1)把原点$O(0,0)$，$A(-2,-2)$与$B(1,-5)$三点的坐标分别代入函数解析式，得到关于$a$，$b$，$c$的三元一次方程组，
即$\begin{cases}c = 0,\\4a - 2b + c = -2,\\a + b + c = -5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a = -2,\\b = -3,\\c = 0,\end{cases}$ $\therefore$抛物线的表达式为$y = -2x^{2}-3x$；
(2)把函数解析式化为顶点式即$y = -2x^{2}-3x = -2(x+\frac{3}{4})^{2}+\frac{9}{8}$，抛物线的顶点坐标为$(-\frac{3}{4},\frac{9}{8})$.

11. 已知点A(-1,0)在抛物线y=ax²+2上，则此抛物线的表达式为 ( )
A. y=x²+2
B. y=x²-2
C. y=-x²+2
D. y=-2x²+2

答案： D

12. 易错题 二次函数的图像如图所示，则它的表达式正确的是 ( )
　　　
A. y=2x²-4x
B. y=-x(x - 2)
C. y=-(x - 1)²+2
D. y=-2x²+4x

答案： D

13. 如图，抛物线的函数表达式是 ( )

A. y=x²-x+2
B. y=x²+x+2
C. y=-x²-x+2
D. y=-x²+x+2

答案： D

14. 过点A(1,0)，B(3,0)，C(-1,2)三点的抛物线的顶点坐标是 ( )
A. (1,2)
B. (1,$\frac{2}{3}$)
C. (-1,5)
D. (2,-$\frac{1}{4}$)

答案： D

15. 几何直观 如图，二次函数y=x²+bx+c的图像过点B(0,-2)，它与反比例函数y=-$\frac{8}{x}$的图像交于点A(m,4)，则这个二次函数的表达式为 ( )
　　
A. y=x²-x - 2
B. y=x²-x+2
C. y=x²+x - 2
D. y=x²+x+2

答案： A

16. 与抛物线y=-x²+1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式是 ( )
A. y=-x²
B. y=x²-1
C. y=-x²-1
D. y=x²+1

答案： D

17. 已知二次函数y=x²+bx+c图像经过点(3,0)和(4,0)，则这个二次函数的表达式是 ____________.

答案： $y = x^{2}-7x + 12$ 提示：设二次函数的表达式为$y = a(x - 3)(x - 4)$，而由$y = x^{2}+bx + c$可得$a = 1$，所以该二次函数的表达式为$y = (x - 3)(x - 4)=x^{2}-7x + 12$.

18. 一个二次函数图像的顶点坐标为(2,1)，形状与抛物线y=-2x²相同，试写出这个函数表达式：________.

答案： $y = -2(x - 2)^{2}+1$或$y = 2(x - 2)^{2}+1$
提示：因为图像顶点坐标为$(2,1)$，$\therefore$设函数表达式是$y = a(x - 2)^{2}+1$，
又$\because$形状与抛物线$y = -2x^{2}$相同，即二次项系数绝对值相同，则$\vert a\vert = 2$，因而表达式是$y = -2(x - 2)^{2}+1$或$y = 2(x - 2)^{2}+1$.

19. 满足条件的结果开放 已知一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为(0,-1)，那么这个二次函数的解析式可以是 ____________.(只需写一个)

答案： $y = 2x^{2}-1$（答案不唯一）

20. 新定义问题 设抛物线l:y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线y=x²-4x+1的伴随抛物线的解析式：____________.

答案： $y = -x^{2}+1$ 提示：$\because$抛物线$y = x^{2}-4x + 1=(x - 2)^{2}-3$，$\therefore$顶点坐标$D$为$(2,-3)$，与$y$轴交点为$C(0,1)$，设伴随抛物线的解析式为$y = ax^{2}+1$，把$(2,-3)$代入得$a = -1$，$\therefore$伴随抛物线的解析式为$y = -x^{2}+1$.

21. 数形结合思想 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标是(0,5)，且经过两个长、宽分别为4和2的相同的长方形的顶点，则这条抛物线对应的函数关系式是 ____________.

答案： $y = -\frac{5}{24}x^{2}-\frac{1}{12}x + 5$ 提示：根据题意得，抛物线经过点$(0,5)$，$(-4,2)$，$(2,4)$，设抛物线的表达式为$y = ax^{2}+bx + c$，则$\begin{cases}c = 5,\\16a - 4b + c = 2,\\4a + 2b + c = 4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a = -\frac{5}{24},\\b = -\frac{1}{12},\\c = 5,\end{cases}$
$\therefore$抛物线的表达式为$y = -\frac{5}{24}x^{2}-\frac{1}{12}x + 5$.

22. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图像过点A(-3,0)，B(1,0)，C(2,-5).
(1)求此二次函数的表达式；
(2)画出这个函数的图像；
(3)△ABC的面积为 ____.

答案：
解：
(1)设抛物线解析式为$y = a(x + 3)(x - 1)$，把$(2,-5)$代入得$a(2 + 3)\cdot(2 - 1)= -5$，解得$a = -1$，$\therefore$抛物线解析式为$y = -(x + 3)(x - 1)$，
即$y = -x^{2}-2x + 3$；
(2)$y = -x^{2}-2x + 3=-(x + 1)^{2}+4$，则抛物线的顶点坐标为$(-1,4)$，当$x = 0$时，$y = -x^{2}-2x + 3 = 3$，则抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0,3)$，如图：

(3)10 提示：如图，连接$AC$，$BC$，则$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}\times(1 + 3)\times5 = 10$.