《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

9. 抛物线$y = ax^{2}(a＜0)$一定经过 ( )
A. 第一、二象限
B. 第三、四象限
C. 第一、三象限
D. 第二、四象限

答案： B

10. 关于二次函数$y = -\frac{1}{8}x^{2}$的图像，下列说法错误的是 ( )
A. 顶点为原点
B. 开口向下
C. 除顶点外图像都在$x$轴下方
D. 当$x = 0$时，$y$取得最小值

答案： D

11. 函数$y = \frac{a}{x}$与$y = ax^{2}(a\neq0)$在同一平面直角坐标系中的图像可能是 ( )
　

答案： D

12. 数形结合思想 如图，矩形四个顶点的坐标依次为$(1,3)$，$(2,3)$，$(2,5)$，$(1,5)$.若抛物线$y = ax^{2}$与矩形有公共点，则实数$a$的取值范围为 ( )
A. $\frac{3}{4}\leqslant a\leqslant5$
B. $\frac{3}{4}\leqslant a\leqslant3$
C. $\frac{1}{4}\leqslant a\leqslant5$
D. $\frac{1}{4}\leqslant a\leqslant3$
　　　　　　　　　

答案： A

13. 如果抛物线$y = (m - 1)x^{2}$的开口向上，那么$m$的取值范围是 ________.

答案： m＞1

14. 抽象能力 如图，边长为2的正方形$ABCD$的中心在平面直角坐标系的原点$O$处，$AD// x$轴，以$O$为顶点且过$A$，$D$两点的抛物线与以$O$为顶点且过$B$，$C$两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是 __________.
　　　　　　　　　　　　

答案： 2

15. 已知二次函数$y = \frac{1}{2}x^{2}$的图像如图所示，线段$AB// x$轴，交抛物线于$A$，$B$两点，且点$A$的横坐标为2，则$AB$的长度为 ____________.
　　 　　

答案： 4 提示：
∵点A的横坐标为2，线段AB//x轴，根据抛物线的对称性，
∴点B的横坐标是-2，
∴AB = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4.

16. 对于二次函数$y = ax^{2}$，已知当$x$由1增加到2时，函数值减少4，则常数$a$的值是________.

答案： - $\frac{4}{3}$ 提示：当x = 1时，y = ax² = a；
当x = 2时，y = ax² = 4a，所以a - 4a = 4，
解得a = - $\frac{4}{3}$.

17. 已知四个二次函数的图像如图所示.
(1)$y = 3x^{2}$的图像是 ______；
(2)$y = \frac{1}{3}x^{2}$的图像是 ______；
(3)$y = -x^{2}$的图像是 ______；
(4)$y = -\frac{3}{4}x^{2}$的图像是 ______.(选填序号)
　　　　　　　

答案：
(1)③
(2)①
(3)④
(4)②
提示：根据二次函数y = ax²(a≠0)中，|a|越大，图像开口越小进行判断.y = 3x²，y = $\frac{1}{3}x²$的二次项系数都大于0，图像开口都应向上，但|3|＞$\left|\frac{1}{3}\right|$，那么y = 3x²的图像应对应③，y = $\frac{1}{3}x²$的图像应对应①；y = -x²，y = - $\frac{3}{4}x²$的二次项系数都小于0，那么图像开口都应向下，但因为|-1|＞$\left|-\frac{3}{4}\right|$，那么y = -x²的图像应对应④，y = - $\frac{3}{4}x²$的图像应对应②.

18. 较难题 已知$y = (k + 2)x^{k^{2}+k - 4}$是二次函数，且当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大.
(1)则$k$的值为 ________；对称轴为 ________；
(2)若点$A$的坐标为$(2,m)$，求该图像上点$A$的对称点的坐标；
(3)请画出该函数图像，并根据图像写出当$-1\leqslant x＜3$时，$y$的范围为 ____________.
　　　　　　　

答案：
解：
(1)-3 y轴 提示：根据题意得k + 2≠0且k² + k - 4 = 2，解得k₁ = -3，k₂ = 2，
∵二次函数当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴二次函数图像的开口向下，即k + 2＜0，
∴k = -3；
∴二次函数为y = -x²，
∴对称轴为y轴；
(2)把A(2,m)代入y = -x²，得m = -4，
∴A(2,-4)，
∵对称轴为y轴，
∴该图像上点A的对称点的坐标为(-2,-4)；
(3)-9＜y≤0 提示：如图，当x = -1时，y = -(-1)² = -1，当x = 3时，y = -3² = -9，
∴当-1≤x＜3时，-9＜y≤0.