《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

1. 例题变式教材P41,例1改编 如图，桥拱是抛物线形，其函数表达式为$y=-\frac{1}{4}x^{2}$，当水位线在AB位置时，桥拱下的水面宽12 m，这时水面离桥顶的高度为____ m.
　　　

答案： 9

2. 例题变式教材P41,例1改编 如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1 m处达到最高点C，高度为3 m，水柱落地点D离池中心A处3 m，则水管AB的长为__________ m.
　　　

答案： 2.25 提示:在题图中以池中心为原点，竖直安装的水管所在直线为y轴，与水管垂直的直线为x轴建立直角坐标系.由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m,则设抛物线的表达式为y=a(x−1)²+3,代入(3,0)求得a=−$\frac{3}{4}$,将a值代入得到抛物线的表达式为y=−$\frac{3}{4}$·(x−1)²+3(0≤x≤3);令x=0,则y=−$\frac{3}{4}$+3=2.25,即水管AB的长为2.25m.

3. 习题变式教材P43,AT2改编 如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20 m，水位上升3 m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m. 在如图所示的平面直角坐标系中求抛物线的表达式；若洪水到来时，水位以每小时0.2 m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶部?
　　　　　　　　

答案： 解:设抛物线的表达式为y = ax²(a≠0)，由CD = 10 m，可设D(5,b)，由AB = 20 m，水位上升3 m就达到警戒线CD，则B(10,b - 3)，分别把D，B的坐标代入y = ax²得$\begin{cases}25a = b \\100a = b - 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = - \frac{1}{25} \\b = - 1\end{cases}$，
∴y = - $\frac{1}{25}$x²；
∵b = - 1，
∴拱桥顶部O到CD的距离为1 m，
∴$\frac{1}{0.2}$=5(h).
答:再持续5h才能到达拱桥顶部.

4. 习题变式教材P43,AT2改编 如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB=18 m，最高高度为8.1 m，同学们站在门内想拉一条距离地面高1.7 m的宣传条幅CE，其顶端恰好在抛物线形门上C,E处.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)求抛物线形大门的高度y(m)与水平距离x(m)的函数表达式；
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)宣传条幅CE至少需要多少米?
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解:
(1)由题图知抛物线过原点，则设抛物线的表达式为y=ax²+bx,由题意得顶点坐标为(9,8.1),B(18,0),代入表达式得$\begin{cases}81a + 9b = 8.1 \\324a + 18b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = - \frac{1}{10} \\b = \frac{9}{5}\end{cases}$，故抛物线形大门的高度y(m)与水平距离x(m)的函数表达式为y = - $\frac{1}{10}$x²+$\frac{9}{5}$x；
(2)令y = - $\frac{1}{10}$x²+$\frac{9}{5}$x = 1.7，即x² - 18x + 17 = 0，解得x₁ = 1，x₂ = 17，x₂ - x₁ = 17 - 1 = 16(m).
答:宣传条幅CE至少需要16m.

5. 如图，铅球的出手点C距地面1 m，出手后的运动路线是抛物线，出手后4 s达到最大高度3 m，则铅球运动路线的解析式为 ( )
A. $h=-\frac{3}{16}t^{2}$
B. $h=-\frac{3}{16}t^{2}+t$
C. $h=-\frac{1}{8}t^{2}+t+1$
D. $h=-\frac{1}{3}t^{2}+2t+1$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： C

6. 小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线$y=-\frac{1}{5}x^{2}+3.5$的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是 ( )
A. 3.5 m B. 4 m C. 4.5 m D. 4.6 m
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： B