《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

19. 已知抛物线$y = ax^{2}$经过点$(1,3)$.
(1)求$a$的值；
(2)当$x = 3$时，求$y$的值；
(3)说出此二次函数的三条性质.

答案： 解：
(1)
∵抛物线y = ax²经过点(1,3)，
∴a×1 = 3，
∴a = 3；
(2)由
(1)得y = 3x²，把x = 3代入y = 3x²，得y = 3×3² = 27；
(3)图像的开口向上；坐标原点是图像的顶点；当x＞0时，y随x的增大而增大；图像有最低点，当x = 0时，y取得最小值，是0等.(写出三条即可)

20. 推理能力 如图，已知直线$l$过$A(4,0)$，$B(0,4)$两点，它与二次函数$y = ax^{2}$的图像在第一象限内相交于点$P$.若$\triangle AOP$的面积为$\frac{9}{2}$，求$a$的值.
　

答案： 解：设点P(x,y)，直线AB的解析式为y = kx + b，将(4,0)，(0,4)分别代入y = kx + b，得$\begin{cases}4k + b = 0\\b = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1\\b = 4\end{cases}$，
故y = -x + 4，
∵△AOP的面积为$\frac{9}{2}=\frac{1}{2}×4×y$，
∴y = $\frac{9}{4}$，再把y = $\frac{9}{4}$代入y = -x + 4，得x = $\frac{7}{4}$，
∴P($\frac{7}{4},\frac{9}{4}$)，把($\frac{7}{4},\frac{9}{4}$)代入到y = ax²中，得a = $\frac{36}{49}$.

21. 根据条件，求下列各题中$m$的取值或取值范围.
(1)函数$y = (2m - 1)x^{2}$有最小值；
(2)函数$y = (m - 2)x^{2}$，当$x＜0$时，$y$随着$x$的增大而增大；
(3)函数$y = (m + 1)x^{2}$与$y = 2x^{2}$的图像形状相同；
(4)函数$y = mx^{m^{2}+m}$的图像是开口向下的抛物线.

答案： 解：
(1)
∵函数y = (2m - 1)x²有最小值，
∴2m - 1＞0，
∴m＞$\frac{1}{2}$；
(2)
∵当x＜0时，函数y = (m - 2)x²中，y随着x的增大而增大，
∴m - 2＜0，
∴m＜2；
(3)
∵函数y = (m + 1)x²与y = 2x²的图像形状相同，
∴|m + 1| = 2，
∴m = 1或m = -3；
(4)
∵函数y = mx^{m² + m}的图像是开口向下的抛物线，
∴m² + m = 2且m＜0，
∴m = -2.

22. 建立函数模型法应用意识 当行驶中的汽车撞到物体时，汽车的损坏程度通常用“撞击影响”来衡量.汽车的撞击影响$I$可以用汽车行驶速度$v(km/min)$来表示，下表是某种型号汽车的行驶速度与撞击影响的试验数据：
　
(1)请根据上表中的数据，在所给的平面直角坐标系中描出坐标$(v,I)$所对应的点，并用光滑的曲线将各点连接起来；
(2)根据下表中数据呈现的规律，请你直接写出用$v$表示$I$的函数关系式：______________；

(3)当汽车的速度分别是$1.5 km/min$，$4.5 km/min$时，利用你得到的撞击影响公式，计算撞击影响分别是多少?
　　　　　　　

答案：
解：
(1)如图：

(2)I = 2v² 提示：$\frac{v²}{I}=\frac{1}{2}$，即I = 2v²；
(3)v = 1.5时，I = 2v² = 2×1.5² = 2×2.25 = 4.5，v = 4.5时，I = 2v² = 2×4.5² = 2×20.25 = 40.5.
答：当汽车的速度分别是1.5 km/min，4.5 km/min时，撞击影响分别是4.5，40.5.