《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

1. 若抛物线$y=x^{2}+bx+c$与$x$轴只有一个公共点，且过点$A(m,n),B(m - 8,n)$，则$n$的值为(　　　)
A. 8
B. 12
C. 15
D. 16

答案： D

2. 已知二次函数$y=x^{2}-x+a$的图像与$x$轴的两个不同交点到原点的距离之和不超过5，则实数$a$的取值范围是(　　　)
A. $0\leqslant a＜\frac{1}{4}$
B. $-6\leqslant a＜0$
C. $-5＜a\leqslant\frac{1}{4}$
D. $-6\leqslant a＜\frac{1}{4}$

答案： D

3. 数形结合思想 如图，抛物线$y=ax^{2}+bx+c$与$x$轴相交于点$A,B(m + 2,0)$，与$y$轴相交于点$C$，点$D$在该抛物线上，坐标为$(m,c)$，则点$A$的坐标是 ________.

答案： (-2,0)

4. 如图，抛物线$y=-x^{2}+2(m + 1)x+m + 3$与$x$轴交于$A,B$两点，且$OA:OB = 1:3$，求$m$的值.

答案： 解：设A点坐标为(a,0)，B点坐标为(b,0)，
∵OA:OB = 1:3，
∴b = -3a，
∵a + b = - $\frac{2(m + 1)}{-1}$ = 2(m + 1)，ab = $\frac{m + 3}{-1}$ = -(m + 3)，将b = -3a代入以上两式，得-2a = 2(m + 1)，-3a² = -(m + 3)，整理得a = -m - 1，3a² = m + 3，
∴3(-m - 1)² = m + 3，即3m² + 5m = 0，
∴m = 0或- $\frac{5}{3}$，
∵对称轴在y轴左侧，
∴- $\frac{2(m + 1)}{2×(-1)}$ ＜ 0，解得m ＜ -1，
∴m = - $\frac{5}{3}$。

5. 在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y=x^{2}-4x + k$（$k$是常数）与$x$轴相交于$A,B$两点（点$B$在点$A$的右边），与$y$轴相交于点$C$.
(1)求$k$的取值范围；
(2)若$\triangle OBC$是等腰直角三角形，求$k$的值.

答案： 解：
(1)依题意得b² - 4ac = (-4)² - 4k ＞ 0，
解得k ＜ 4，
∴k的取值范围是k ＜ 4；
(2)依题意得C(0,k)，
∴B(|k|,0)，
∴|k|² - 4|k| + k = 0，
∴k ＞ 0时，k² - 3k = 0，解得k = 3；k ＜ 0时，k² + 5k = 0，解得k = -5。

6. 已知直线$y = 2x + 3$与抛物线$y = x^{2}$交于$A,B$两点（点$A$在点$B$左边），求$AB$的长.

答案： 解：直线方程y = 2x + 3与抛物线方程y = x²联立消去y，可得x² - 2x - 3 = 0，
∴x = -1或x = 3，
∴y = 1或y = 9，
∴A(-1,1)，B(3,9)，
∴AB = $\sqrt{[3 - (-1)]² + (9 - 1)²}$ = 4$\sqrt{5}$。

7. 推理能力 已知抛物线$y=\frac{1}{4}x^{2}$和直线$y = ax + 1$.求证：不论$a$取何值，抛物线与直线必有两个不同的交点.

答案： 证明：联立$\begin{cases}y = \frac{1}{4}x² \\ y = ax + 1\end{cases}$，
消掉y得，$\frac{1}{4}x² - ax - 1 = 0$，
∵Δ = (-a)² - 4×$\frac{1}{4}$×(-1) = a² + 1 ＞ 0，
∴不论a取何值，方程一定有两个不相等的实数根，
∴不论a取何值，抛物线与直线必有两个不同的交点。

8. 较难题 已知：直线$l:y = 2x - 3$与抛物线$c:y=\frac{1}{2}x^{2}+3x+\frac{5}{2}$.
(1)求证：抛物线$c$与直线$l$无交点；
(2)若与直线$l$平行的直线与抛物线$c$只有一个公共点$P$，求点$P$的坐标.

答案： 解：
(1)证明：
联立方程组$\begin{cases}y = 2x - 3 \\ y = \frac{1}{2}x² + 3x + \frac{5}{2}\end{cases}$，
消去y得$\frac{1}{2}x² + 3x + \frac{5}{2}$ = 2x - 3，即x² + 2x + 11 = 0，
∵Δ = 4 - 4×1×11 = -40 ＜ 0，
∴该方程无实数根，即方程组无解，
故抛物线c与直线l无交点；
(2)设与直线l平行的直线方程为y = 2x + m，联立方程组$\begin{cases}y = 2x + m \\ y = \frac{1}{2}x² + 3x + \frac{5}{2}\end{cases}$，
消去y，整理得x² + 2x + 5 - 2m = 0，
∵此直线与抛物线c只有一个公共点P，
∴Δ = 4 - 4×1×(5 - 2m) = 0，解得m = 2，
即方程为x² + 2x + 1 = 0，解得x = -1，
将x = -1代入y = 2x + 2中得y = 0，
∴点P的坐标为(-1,0)。