《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E。
(1)求证：BC是⊙D的切线；
(2)若AB=5，BC=13，求CE的长。

答案：
解：
(1)证明：如图，过点D作DF⊥BC于点F，
∵∠BAD = 90°，BD平分∠ABC，
∴AD = DF.
∴DF是⊙D的半径，
∴BC是⊙D的切线；
(2)易知△ABD≌△FBD，
∴AB = FB.
∵AB = 5，BC = 13，
∴CF = BC - BF = BC - AB = 8，AC = $\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}$ = 12.
在Rt△DFC中，设DF = DE = r，则$r^{2}+64=(12 - r)^{2}$，解得$r=\frac{10}{3}$，
∴CE = 12 - 2×$\frac{10}{3}$ = $\frac{16}{3}$.

2. [推理能力] 如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E。
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若正方形ABCD的边长为10，求⊙O的半径。

答案：
解：
(1)证明：如图，连接OE，并过点O作OF⊥CD.
∵BC切⊙O于点E，
∴OE⊥BC，OE = OA，又
∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB = ∠ACD，
∴△OEC≌△OFC.
∴OF = OE，
∴OF = OA，即OF为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；

(2)
∵正方形ABCD的边长为10，AC为对角线，
∴AB = BC = 10，∠B = 90°，∠ACB = 45°，
∴AC = $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$ = $10\sqrt{2}$，
∵OE⊥BC，
∴∠OEC = 90°，
∴∠EOC = 45°，
∴OE = EC，设OA = r，则OE = EC = r，
∴OC = $\sqrt{OE^{2}+EC^{2}}$ = $\sqrt{2}r$，
∵OA + OC = AC，
∴$r+\sqrt{2}r = 10\sqrt{2}$，
解得$r = 20 - 10\sqrt{2}$.
∴⊙O的半径为$20 - 10\sqrt{2}$.

3. [几何直观] 如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，∠AOC的度数为60°，连接BC，PB。
(1)求BC的长；
(2)求证：PB是⊙O的切线。

答案： 解：
(1)在题图中连接OB.
∵AB⊥OC，∠AOC = 60°，
∴∠OAB = 30°，
∵OB = OA，
∴∠OBA = ∠OAB = 30°，
∴∠AOB = 120°，
∴∠BOC = 60°，
∵OB = OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴BC = OC.
∵OC = 2，
∴BC = 2；
(2)证明：由
(1)知，∠COB = 60°，BC = OC，∠BCO = 60°.
∵OC = CP，
∴BC = PC，
∴∠P = ∠CBP.
∵∠OCB = 60°，
∴∠CBP = 30°，
∴∠OBP = 90°，即OB⊥PB.
∵OB是半径，
∴PB是⊙O的切线.

4. 如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，点F在CD上，且AF=DF，连接AD，BC。
(1)求证：∠FAD=∠B；
(2)延长FA到P，使FP=FC，作直线CP。如果AF//BC，求证：直线PC为⊙O的切线。

答案： 证明：
(1)
∵AF = DF，
∴∠FAD = ∠FDA，
∵∠FDA = ∠B，
∴∠FAD = ∠B；
(2)在题图中连接OC，
∵AF//BC，
∴∠FAB = ∠B，
∴∠FAB = ∠FAD = ∠FDA，
∵∠AED = 90°，
∴∠FAB = ∠FAD = ∠FDA = 30°，
∴∠CFP = 60°，
∵FP = FC，
∴△CFP是等边三角形，
∴∠PCF = 60°，
∵OB = OC，
∴∠B = ∠OCB = 30°，
∴易知∠OCD = 30°，
∴∠PCO = 60° + 30° = 90°，即OC⊥PC，
∵OC是半径，
∴PC是⊙O的切线.