《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

12. (8分)已知函数$y=(m^{2}-m)x^{2}+(m - 1)x + m + 1$.
(1)若这个函数是一次函数,求$m$的值;
(2)若这个函数是二次函数,则$m$的值应怎样?

答案： 解:
(1)根据一次函数的定义,得$m^{2}-m = 0$,且$m - 1\neq0$,解得$m = 0$,
$\therefore$当$m = 0$时,这个函数是一次函数;
(2)根据二次函数的定义,得$m^{2}-m\neq0$,解得$m\neq0$且$m\neq1$,$\therefore$当$m\neq0$且$m\neq1$时,这个函数是二次函数.

13. (8分)易错题 把$y=-\frac{1}{2}x^{2}$的图像先向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度.
(1)求新图像的函数表达式、顶点坐标和对称轴;
(2)列函数对应值表,并作新函数图像;
(3)求新函数的最大值或最小值,并求此时$x$的值.

答案：
解:
(1)新图像的函数表达式为$y =-\frac{1}{2}(x - 1)^{2}+2$,所以它的顶点坐标是$(1,2)$,对称轴是直线$x = 1$;
(2)由$y =-\frac{1}{2}(x - 1)^{2}+2$列表得
其函数图像如图所示:

(3)由图像可知当$x = 1$时,$y_{最大}=2$.

14. (9分)已知二次函数$y = a(x - h)^{2}$,当$x = 2$时取得最大值,且此函数的图像经过点$(1,-3)$,求此二次函数的关系式,并指出当$x$为何值时,$y$随$x$的增大而增大.

答案： 解:$\because$当$x = 2$时$y$取得最大值,$\therefore h = 2$,$a\lt0$,即$y = a(x - 2)^{2}$,把$(1,-3)$代入,得$-3 = a(1 - 2)^{2}$,解得$a=-3$,
$\therefore$二次函数解析式为$y=-3(x - 2)^{2}$,
$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x = 2$,抛物线开口向下,$\therefore$当$x\lt2$时,$y$随$x$的增大而增大.

15. (9分)如图,已知$\square ABCD$的周长为8 cm, $\angle B = 30^{\circ}$.若边长$AB$为$x$ cm,写出$\square ABCD$的面积$y(cm^{2})$与$x(cm)$的函数关系式,并求自变量$x$的取值范围.

答案： 解:在题图中过点$A$作$AE\perp BC$于点$E$,$\because\angle B = 30^{\circ}$,$AB = x$,$\therefore AE=\frac{1}{2}x$,
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AB = DC$,$AD = BC$,又$\because$平行四边形$ABCD$的周长为$8\mathrm{cm}$,$\therefore BC = 4 - x$,
$\therefore y = AE\cdot BC=\frac{1}{2}x\cdot(4 - x)=-\frac{1}{2}x^{2}+2x$,
$\therefore\square ABCD$的面积$y(\mathrm{cm}^{2})$与$x(\mathrm{cm})$的函数关系式为$y =-\frac{1}{2}x^{2}+2x$,$\because4 - x\gt0$,
$\therefore x\lt4$,又$\because x\gt0$,$\therefore$自变量$x$的取值范围是$0\lt x\lt4$.

16. (11分)几何直观 如图,顶点为$M$的抛物线$y = a(x + 1)^{2}-4$分别与$x$轴相交于点$A,B$(点$A$在点$B$的右侧),与$y$轴相交于点$C(0,-3)$.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)判断$\triangle BCM$是不是直角三角形,并说明理由.

答案： 解:
(1)$\because$抛物线$y = a(x + 1)^{2}-4$与$y$轴相交于点$C(0,-3)$,$\therefore - 3 = a - 4$,
$\therefore a = 1$,$\therefore$抛物线的函数表达式为$y=(x + 1)^{2}-4$;
(2)$\triangle BCM$是直角三角形.
理由:由
(1)知,抛物线表达式为$y=(x + 1)^{2}-4$,$\therefore M(-1,-4)$,令$y = 0$,
则$(x + 1)^{2}-4 = 0$,$\therefore x_{1}=-3$,$x_{2}=1$,
$\therefore A(1,0)$,$B(-3,0)$,$\because C(0,-3)$,
$\therefore BC^{2}=9 + 9 = 18$,$CM^{2}=1 + 1 = 2$,$BM^{2}=4 + 16 = 20$,$\therefore BC^{2}+CM^{2}=BM^{2}$,
$\therefore\triangle BCM$是直角三角形.

17. (11分)较难题 在平面直角坐标系中,抛物线$y = x^{2}-2mx + m^{2}-1$与$y$轴交于点$C$.
(1)试用含$m$的代数式表示抛物线的顶点坐标;
(2)将抛物线$y = x^{2}-2mx + m^{2}-1$沿直线$y=-1$翻折,得到的新抛物线与$y$轴交于点$D$.若$m ＞ 0$, $CD = 8$,求$m$的值;
(3)已知$A(2k,0),B(0,k)(k ＞ 0)$,在(2)的条件下,当线段$AB$与抛物线$y = x^{2}-2mx + m^{2}-1$有两个公共点时,求出$k$的取值范围.

答案： 解:
(1)$\because y = x^{2}-2mx + m^{2}-1=(x - m)^{2}-1$,$\therefore$抛物线的顶点坐标为$(m,-1)$;
(2)由对称性可知,点$C$到直线$y=-1$的距离为$4$,$\therefore OC = 3$,$\therefore m^{2}-1 = 3$,$\because m\gt0$,$\therefore m = 2$;
(3)$\because m = 2$,$\therefore$抛物线的表达式为$y = x^{2}-4x + 3$,令$x = 0$,则$y = 3$,$\therefore$抛物线与$y$轴的交点为$(0,3)$,令$y = 0$,则$x^{2}-4x + 3 = 0$,解得$x = 1$或$x = 3$,$\therefore$抛物线与$x$轴的交点坐标为$(1,0)$,(3,0),
当线段$AB$与抛物线$y = x^{2}-2mx + m^{2}-1$有两个公共点时,则$\begin{cases}2k\geqslant3\\0\lt k\leqslant3\end{cases}$,
$\therefore\frac{3}{2}\leqslant k\leqslant3$.