《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

25. 已知函数$y = (m + 2)x^{m^{2}+m - 4}-1$是关于$x$的二次函数，求：
(1)满足条件的$m$值；
(2)$m$为何值时，抛物线的开口向下？并求出此时抛物线的对称轴；
(3)$m$为何值时，抛物线有最低点？并求出这个最低点。

答案： 解：
(1)$\because$函数$y=(m + 2)x^{m^{2}+m - 4}-1$是关于$x$的二次函数，$\therefore m^{2}+m - 4 = 2$，且$m + 2\neq0$，解得$m_{1}=-3$，$m_{2}=2$，$\therefore m$的值为-3或2；
(2)抛物线开口向下，则$m + 2 ＜ 0$，即$m ＜ - 2$，则当$m = - 3$时，抛物线$y=-x^{2}-1$的开口向下，对称轴为$y$轴；
(3)抛物线有最低点，则$m + 2 ＞ 0$，即$m ＞ - 2$，则当$m = 2$时，抛物线$y = 4x^{2}-1$有最低点，最低点为$(0,-1)$.

26. 几何直观 如图，抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}+2$与$x$轴交于$A(2,0),B$两点，与$y$轴交于$C$。
(1)试写出该抛物线的对称轴和顶点$C$的坐标；
(2)在抛物线上是否存在一点$M$，使$\triangle MAC\cong\triangle OAC$？若存在，求出点$M$的坐标；若不存在，请说明理由。
　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)$\because y = -\frac{1}{2}x^{2}+2$，$\therefore$抛物线的对称轴是$y$轴，顶点$C$的坐标为$(0,2)$；
(2)不存在.理由如下：设抛物线上存在点$M$，$\because A(2,0)$，$C(0,2)$，$\therefore OA = OC = 2$，$\because\triangle MAC\cong\triangle OAC$，$\therefore OA = MA = 2$，$OC = MC = 2$，$\therefore OA = AM = CM = CO$，又$\because\angle AOC = 90^{\circ}$，$\therefore$四边形$OAMC$为正方形，$\therefore M(2,2)$.
$\because$当$x = 2$时，$y = 0$，
$\therefore M$不在抛物线上.
$\therefore$不存在这样的点$M$.

27. 过程性学习 几何直观 九年级某班成立了数学兴趣小组，该数学兴趣小组对函数$y = |x^{2}-1|$的图像和性质进行探究，过程如下，请你补充完整。
(1)函数$y = |x^{2}-1|$的自变量$x$的取值范围是______；
(2)①列表：下表是$x,y$的几组对应值，其中$m =$______， $n =$______；
　
②描点：根据表中的数值描点$(x,y)$，请在下图中补充描出点$(-\frac{1}{2},m)$，$(\frac{1}{2},n)$；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图像补充完整。
(3)下列关于该函数的说法，错误的是______；
A. 函数图像是轴对称图形；
B. 当$x＞0$时，函数值$y$随自变量$x$的增大而增大；
C. 函数值$y$都是非负数；
D. 若函数图像经过点$(m,a)$与$(-m,b)$，则$a = b$；
(4)点$(m,a)$与$(n,b)$在函数图像上，且$|n|＜|m|＜1$，则$a$与$b$的大小关系是______。
　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)$x$取任意实数
(2)①$\frac{3}{4}$ $\frac{3}{4}$
②补充点如图所示；

③用平滑的曲线顺次连接各点，把图像补充完整如图所示；
(3)B
(4)$a ＜ b$ 提示：$\because|n| ＜ |m| ＜ 1$，$\therefore0\leqslant n^{2}＜m^{2}＜1$，$\therefore - 1\leqslant n^{2}-1＜m^{2}-1＜0$，$\therefore1＞|n^{2}-1|＞|m^{2}-1|＞0$，$\because a = |m^{2}-1|$，$b = |n^{2}-1|$，$\therefore a ＜ b$.