《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

8. 如图，B是⊙O外一点，连接OB，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C.求证：AD平分∠BAC.

答案：
证明：如图，连接OD，
∵BD是⊙O的切线，
∴OD⊥BD，
∵AC⊥BD，
∴OD//AC，
∴∠2=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，即AD平分∠BAC.

9. 推理能力 如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC(C为切点)和与圆相交的线PB，分别交⊙O于点A，B，连接AC，BC.求证：∠PCA = ∠PBC.

答案：
证明：如图，连接OC，OA，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∵PC是⊙O的切线，C为切点，
∴PC⊥OC，
∴∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，
在△AOC中，∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，
∵∠AOC=2∠PBC，
∴2∠ACO+2∠PBC=180°，
∴∠ACO+∠PBC=90°，
∵∠PCA+∠ACO=90°，
∴∠PCA=∠PBC.

10. [几何直观] 如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E，F两点，连接DE，已知∠B = 30°，⊙O的半径为12，劣弧$\overset{\frown}{DE}$的长度为4π.求证：DE//BC.

答案：
证明：如图，连接OD，OE，
∵AD是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODA=90°，
又
∵$\overset{\frown}{DE}$的长度为4π，
∴4π=$\frac{n\pi\times12}{180}$，
解得n=60，即∠DOE=60°，又
∵OD=OE，
∴△ODE是等边三角形，
∴∠ODE=60°，
∴∠EDA=30°，
∴∠B=∠EDA，
∴DE//BC.

11. 如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AB为直径，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D作EF//BC，EF与AB，AC的延长线分别交于点E，F.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)求证：AF + CF = AB.

答案：
证明：
(1)连接OD，如图.
∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∴$\overset{\frown}{BD}$=$\overset{\frown}{CD}$，
∴OD⊥BC，
∵BC//EF，
∴OD⊥EF，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线；

(2)连接BD并延长，交AF的延长线于点H，连接CD，如图.
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BH，
∴∠ADB=∠ADH=90°，在△ADH和△ADB中，$\begin{cases} \angle HAD=\angle BAD, \\ AD = AD, \\ \angle ADH=\angle ADB, \end{cases}$
∴△ADH≌△ADB(ASA)，
∴AH=AB.
∵BC//EF，
∴∠BCD=∠CDF，
∵∠BCD=∠BAD=∠HAD，
∴∠CDF=∠CAD，
同理∠HDF=∠EDB=∠BAD，
∴∠CDF=∠HDF.在△CDF与△HDF中，$\begin{cases} \angle CDF=\angle HDF, \\ DF = DF, \\ \angle CFD=\angle HFD = 90^{\circ}, \end{cases}$
∴△CDF≌△HDF(ASA)，
∴FH=CF，
∴AF+CF=AF+FH=AH=AB，
即AF+CF=AB.