《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

3. 半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（ ）
　　　　　　　　　
A. ⊙O₁
B. ⊙O₂
C. ⊙O₃
D. ⊙O₄

答案： C

4. 如图，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过O作EF//AB，交BC于点E，交AD于点F，则以点B为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆与直线AC，EF的位置关系分别是什么？

答案： 解：由题中已知条件，得BO⊥AC，BO = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{2}\sqrt{BC^{2}+CD^{2}}$ = $\sqrt{2}$，即点B到AC的距离为$\sqrt{2}$，与⊙B的半径相等，
∴直线AC与⊙B相切.
∵EF//AB，∠ABC = 90°，
∴∠OEB = 90°，即BE⊥EF，垂足为E.易知BE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×2 = 1＜$\sqrt{2}$，
∴直线EF与⊙B相交.

5. 如图，正三角形和正方形分别内接于等圆⊙O₁和⊙O₂，若正三角形的周长为m，正方形的周长为n，则m与n的关系为（ ）
　　　
A. m＜n
B. m = n
C. m＞n
D. 不能确定

答案： A

6. [数学文化]我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）。若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______。
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 289

7. 如图，在⊙O的内接正八边形ABCDEFGH中，AB = 2，连接DG。
(1)求证：DG//AB；
(2)DG的长为______。

答案： 解：
(1)证明：在题图中连接BG，
∵八边形ABCDEFGH是⊙O的内接正八边形，
∴$\widehat{AB}$ = $\widehat{BC}$ = $\widehat{CD}$ = $\widehat{DE}$ = $\widehat{EF}$ = $\widehat{FG}$ = $\widehat{GH}$ = $\widehat{HA}$，
∴$\widehat{BD}$ = $\widehat{AG}$，
∴∠ABG = ∠BGD，
∴AB//DG；
(2)2$\sqrt{2}$ + 2 提示：在题图中连接OD，OE，OF，OG，过点E，F分别作DG的垂线，垂足为M，N，则易知MN = EF = AB = 2，
∵八边形ABCDEFGH是⊙O的内接正八边形，
∴∠DOE = ∠EOF = $\frac{360^{\circ}}{8}$ = 45°，
∴∠DOF = 90°，
∴∠NGF = $\frac{1}{2}$∠DOF = 45°，同理，∠MDE = 45°，在Rt△MDE中，∠MDE = 45°，DE = AB = 2，易知MD = ME，
∴MD² + ME² = DE²，
∴MD = $\sqrt{2}$，同理，得NG = $\sqrt{2}$，
∴DG = $\sqrt{2}$ + 2 + $\sqrt{2}$ = 2$\sqrt{2}$ + 2.

8. 几何直观 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦。点P，O位于AC异侧，PA与⊙O相切，∠APC = 2∠BAC。
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若PC = AB = 4，求AC的长。

答案： 解：
(1)证明：在题图上，连接BC，OC，
∵OB = OA = OC，
∴∠BAC = ∠ACO，∠OBC = ∠OCB，
∴∠BOC = ∠BAC + ∠ACO = 2∠BAC，
∵∠APC = 2∠BAC，
∴∠APC = ∠BOC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°，
∴∠BAC + ∠ABC = 90°，
∵PA与⊙O相切，
∴∠BAP = 90°，
∴∠BAC + ∠PAC = 90°，
∴∠PAC = ∠ABC，
∴∠PCA = 180° - ∠APC - ∠PAC，
∵∠BCO = 180° - ∠BOC - ∠ABC，
∴∠PCA = ∠OCB，
∵∠OCB + ∠OCA = ∠OCA + ∠ACP = 90°，
∴∠PCO = 90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
(2)在题图上，连接OP交AC于D，
∵PA，PC与⊙O相切，
∴PA = PC，∠APO = ∠CPO，
∴OP垂直平分AC，
∵∠PCO = 90°，PC = AB = 4，
∴OP = $\sqrt{PC^{2}+OC^{2}}$ = 2$\sqrt{5}$，易得CD = $\frac{OC\cdot PC}{OP}$ = $\frac{2×4}{2\sqrt{5}}$ = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴AC = 2CD = $\frac{8\sqrt{5}}{5}$.

9. 较难题 如图，△ABC的内切圆（圆心为点O）与各边分别相切于点D，E，F，连接EF，DE，DF。以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交AB，BC于G，H两点；分别以点G，H为圆心，大于$\frac{1}{2}$GH的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线BP。下列说法正确的是（ ）
　　　　　　　　　　
A. 射线BP一定不过点O
B. 点O是△DEF三条中线的交点
C. 若△ABC是等边三角形，则DE = $\frac{1}{2}$BC
D. 点O不是△DEF三条边的垂直平分线的交点

答案： C