《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

2. [推理能力]已知P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)是抛物线y=ax²+4ax+3(a是常数,a≠0)上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=-2；②点(0,3)在抛物线上；③若x₁＞x₂＞-2，则y₁＞y₂；④若y₁=y₂，则x₁+x₂=-2，其中，正确结论的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： B

3. 已知y=-3x²+(2m-1)x+1，当x＞2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______.

答案： $m\leqslant\frac{13}{2}$

4. 易错题已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像如图所示，其对称轴为直线x=1，以下4个结论：①abc＜0；②(a+c)²＜b²；③a+b＜m(am+b)，其中m≠1；④4a+2b+c＞0.其中正确的有( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个

答案： B

5. 已知二次函数y=ax²-(3a+1)x+3(a≠0)，下列说法正确的是( )
A. 点(1,2)在该函数的图像上
B. 当a=1且-1≤x≤3时，0≤y≤8
C. 该函数的图像与x轴一定有交点
D. 当a＞0时，该函数图像的对称轴一定在直线x=$\frac{3}{2}$的左侧

答案： C

6. [满足条件的结果开放]二次函数y=x²+3x+n的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是______.(填一个值即可)

答案： -3(答案不唯一)

7. 如图，某小区准备用总长为80m的篱笆围成一块矩形花圃ABCD.为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆EF与GH将矩形ABCD分割成①②③三块矩形区域，而且这三块区域的面积相等，设CF=xm.当围成的矩形花圃ABCD的面积最大时，求AB的长.

答案： 解：
∵ 矩形$ABCD$分割成①②③三块矩形区域，而且这三块区域的面积相等，$\therefore EH = FH$，$EF = BC$，$AE = GH = DF = 2CF = 2BE$，$\because CF = x\ m$，$\therefore AE = GH = DF = 2x\ m$，$BE = x\ m$，$\therefore BC=\frac{1}{2}(80 - AE - GH - DF - CF - BE)=\frac{1}{2}(80 - 2x - 2x - 2x - x - x)=\frac{1}{2}(80 - 8x)=(40 - 4x)(m)$，$AB = AE + BE = 2x + x = 3x(m)$，$\therefore S_{矩形ABCD}=AB\cdot BC = 3x(40 - 4x)=-12x^{2}+120x=-12(x - 5)^{2}+300$，$\therefore$ 当$x = 5$时，围成的矩形花圃$ABCD$的面积最大，此时，$AB = 3\times5 = 15(m)$，$\therefore$ 当围成的矩形花圃$ABCD$的面积最大时，$AB$的长为$15\ m$.

8. 某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg. 经市场调查发现每天的销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间的函数关系如图所示.
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少?【销售利润=(销售价格 - 采购价格)×销售量】

答案： 解：
(1)当$22\leqslant x\leqslant30$时，设函数表达式为$y = kx + b$，将$(22,48)$，$(30,40)$代入，得$\begin{cases}22k + b = 48\\30k + b = 40\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b = 70\end{cases}$，$\therefore$ 函数表达式为$y=-x + 70$；当$30＜x\leqslant45$时，设函数表达式为$y = mx + n$，将$(30,40)$，$(45,10)$代入，得$\begin{cases}30m + n = 40\\45m + n = 10\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-2\\n = 100\end{cases}$，$\therefore$ 函数表达式为$y=-2x + 100$，综上，$y$与$x$的函数表达式为$y=\begin{cases}-x + 70(22\leqslant x\leqslant30)\\-2x + 100(30＜x\leqslant45)\end{cases}$；
(2)设利润为$w$元，当$22\leqslant x\leqslant30$时，$w=(x - 20)(-x + 70)=-x^{2}+90x - 1400=-(x - 45)^{2}+625$，$\because$ 在$22\leqslant x\leqslant30$范围内，$w$随着$x$的增大而增大，$\therefore$ 当$x = 30$时，$w$取得最大值，为$400$；当$30＜x\leqslant45$时，$w=(x - 20)(-2x + 100)=-2x^{2}+140x - 2000=-2(x - 35)^{2}+450$，当$x = 35$时，$w$取得最大值，为$450$；$\because450＞400$，$\therefore$ 当销售价格为$35$元/kg 时，利润最大，为$450$元.