《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

1. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y = ax² + bx + c(a≠0)。如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为__________m。

答案： 15

2. 抛物线轨迹问题 如图，小明在一次高尔夫球赛中，从山坡下O点打出一球向球洞(点A)飞去，球的飞行路线为抛物线。如果不考虑空气阻力，当球打到最大竖直高度12m时，球移动的水平距离为9m(此时球在点B处)。已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，O，A两点相距$\frac{12}{5}$m。建立如图所示的平面直角坐标系。
(1)直接写出点A的坐标；
(2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
(3)直接判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞(点A)。

答案： 解：
(1)在Rt△AOC中，
∵∠AOC = 30°，OA = $\frac{12}{5}$ m，
∴AC = $\frac{6}{5}$ m，由勾股定理得OC = $\frac{6\sqrt{3}}{5}$ m，
∴A($\frac{6\sqrt{3}}{5}$, $\frac{6}{5}$)；
(2)由题意得顶点B(9,12)，
∴设抛物线的解析式为y = a(x - 9)² + 12，抛物线过原点，把(0,0)代入，得0 = a(0 - 9)² + 12，a = - $\frac{4}{27}$，
∴球的飞行路线所在抛物线的解析式为y = - $\frac{4}{27}$(x - 9)² + 12；
(3)当x = $\frac{6\sqrt{3}}{5}$时，y = - $\frac{4}{27}$×($\frac{6\sqrt{3}}{5}$ - 9)² + 12 ≠ $\frac{6}{5}$，
∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞(点A).

3. 如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1m的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距点O 6m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4m高，球落地后又一次弹起，据试验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半。
(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
(2)足球第一次落地点C距守门员多少米？(取4$\sqrt{3}$≈7)
(3)运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应再向前跑多少米？(取2$\sqrt{6}$≈5)

答案： 解：
(1)根据题意，可设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式为y = a(x - 6)² + 4，将(0,1)代入，得36a + 4 = 1，解得a = - $\frac{1}{12}$，
∴足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式为y = - $\frac{1}{12}$(x - 6)² + 4；
(2)令y = 0，得 - $\frac{1}{12}$(x - 6)² + 4 = 0，解得x₁ = 4$\sqrt{3}$ + 6 ≈ 13，x₂ = - 4$\sqrt{3}$ + 6 ≈ - 1 ＜ 0(舍去)，
∴足球第一次落地点C距守门员约13 m；
(3)如图，足球第二次弹出后的距离为CD，根据题意知CD = EF(即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位长度)，
∴ - $\frac{1}{12}$(x - 6)² + 4 = 2，解得x₁ = 6 - 2$\sqrt{6}$，x₂ = 6 + 2$\sqrt{6}$，
∴CD = EF = x₂ - x₁ = 4$\sqrt{6}$ ≈ 10，
∴BD ≈ 13 - 6 + 10 = 17(m)，
∴运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应再向前跑17 m.