《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

18. 如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，求∠BAD的度数.

答案： 解：
∵正五边形$ABCDE$的内角和为$(5 - 2)\times180^{\circ}=540^{\circ}$，
∴$\angle E=\frac{1}{5}\times540^{\circ}=108^{\circ}$，$\angle BAE = 108^{\circ}$，又
∵$EA = ED$，
∴$\angle EAD=\frac{1}{2}\times(180^{\circ}-108^{\circ})=36^{\circ}$，
∴$\angle BAD=\angle BAE - \angle EAD = 72^{\circ}$.

19. 几何直观 如图，已知等边三角形ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5$\sqrt{2}$ cm，求⊙O的半径R.

答案：
解：如图，连接$OB$，$OC$，$OD$，
∵等边三角形$ABC$内接于$\odot O$，$BD$为内接正十二边形的一边，
∴$\angle BOC=\frac{1}{3}\times360^{\circ}=120^{\circ}$，$\angle BOD=\frac{1}{12}\times360^{\circ}=30^{\circ}$，
∴$\angle COD=\angle BOC - \angle BOD = 90^{\circ}$，
∵$OC = OD$，
∴$\angle OCD = 45^{\circ}$，
∴$OC = CD\cdot\cos45^{\circ}=5\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=5(cm)$，即$\odot O$的半径$R$为$5\ cm$.

20. 归纳法 如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC、正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…….点M，N分别从点B，C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动.
　　　　　　　　　　　E
　 
(1)图1中∠APN的度数是______，图2中，∠APN的度数是______，图3中∠APN的度数是____；
(2)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系.(直接写答案)

答案： 解：
(1)$60^{\circ}$ $90^{\circ}$ $108^{\circ}$
提示：在题图1中，
∵点$M$，$N$分别从点$B$，$C$开始以相同的速度在$\odot O$上逆时针运动，
∴$\angle BAM=\angle CBN$，
∴$\angle APN=\angle ABN+\angle BAM=\angle ABN+\angle CBN=\angle ABC = 60^{\circ}$；
同理可得在题图2中，$\angle APN = 90^{\circ}$；
在题图3中，$\angle APN = 108^{\circ}$；
(2)由
(1)可知，$\angle APN$=所在正多边形的内角度数，故在题图$n$中，$\angle APN=\frac{(n - 2)\times180^{\circ}}{n}$.

21. 数学文化 几何直观 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图，已知$\widehat{AB}$，C是弦AB上一点.
(1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)；
①作线段AC的垂直平分线DE，交$\widehat{AB}$于点D，交弦AB于点E；②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交$\widehat{AB}$于点F(F，A两点不重合)，连接BF；
(2)引理的结论为BC=BF，请你证明.
　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)如图；

(2)证明：如图，连接$DA$，$DC$，$DF$，$DB$
∵$DE$为$AC$的垂直平分线，
∴$DA = DC$，
∴$\angle DAC=\angle DCA$，
∵四边形$ABFD$为圆的内接四边形，
∴$\angle DAC+\angle DFB = 180^{\circ}$，
∵$\angle DCA+\angle DCB = 180^{\circ}$，
∴$\angle DCB=\angle DFB$，
∵$AD = FD$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DF}$，
∴$\angle ABD=\angle DBF$，
∵$BD = BD$，
∴$\triangle BCD\cong\triangle BFD(AAS)$，
∴$BC = BF$.