《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

14. 廊桥是我国古老的文化遗产.如图所示的是某座抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{40}x^{2}+10$，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8 m的点E,F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF的长度.(精确到1 m)
　　　　　　　　

答案： 解:由“在该抛物线上距水面AB高为8m的点为E,F”把y=8代入y= - $\frac{1}{40}$x²+10，得x = ±4$\sqrt{5}$，则EF = 8$\sqrt{5}$≈18(m).

15. 如图，一位篮球运动员在离篮圈中心水平距离4 m处跳起投篮，球运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足表达式$y=ax^{2}+x+c$，当球运行的水平距离为1.5 m时，球离地面高度为3.3 m，球在空中达到最大高度后，准确落入篮圈内.已知篮圈中心离地面距离为3.05 m.
　(1)当球运行的水平距离为多少时，达到最大高度？最大高度为多少？
　(2)若该运动员身高1.8 m，这次跳投时，球在他头顶上方0.25 m处出手，问球出手时，他跳离地面多高?
　　　　　　　　

答案： 解:
(1)依题意，抛物线y = ax²+x+c经过点(1.5,3.3)和(4,3.05)，
∴$\begin{cases}a·1.5²+1.5+c = 3.3 \\a·4²+4+c = 3.05\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = - 0.2 \\c = 2.25\end{cases}$，
∴y = - 0.2x²+x+2.25 = - 0.2(x - 2.5)²+3.5，
∴当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度，最大高度为3.5 m；
(2)
∵x = 0时，y = 2.25，
∴2.25 - 0.25 - 1.8 = 0.2(m)，即球出手时，他跳离地面0.2 m.

16. 应用意识 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6 m，底部宽度OM为12 m.现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
　(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
　(2)求这条抛物线的表达式；
　(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD—DC—CB，使点C,D在抛物线上，点A,B在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少?
　　　　　　　　　　

答案： 解:
(1)M(12,0),P(6,6);
(2)设抛物线的表达式为y = a(x - 6)²+6，
∵抛物线y = a(x - 6)²+6经过点(0,0)，
∴0 = a(0 - 6)²+6，解得a = - $\frac{1}{6}$，
∴抛物线的表达式为y = - $\frac{1}{6}$(x - 6)²+6，即y = - $\frac{1}{6}$x²+2x；
(3)设A(m,0)，则B(12 - m,0)，C(12 - m,- $\frac{1}{6}$m²+2m)，D(m,- $\frac{1}{6}$m²+2m).
∴“支撑架”总长AD+DC+CB = (- $\frac{1}{6}$m²+2m)+(12 - 2m)+(- $\frac{1}{6}$m²+2m)= - $\frac{1}{3}$m²+2m+12 = - $\frac{1}{3}$·(m - 3)²+15.
∵此二次函数的图像开口向下，
∴当m = 3 m时，AD+DC+CB有最大值，最大值为15 m.

17. 建立函数模型法几何直观 如图所示的是把一个抛物线形桥拱，量得的两个数据，画在纸上的情形.小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式. 你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式.
　　　　　　　　

答案：
解:正确.抛物线依坐标系所建不同而各异，如图，令y=ax²,代入(20,−6)得−6=a·20²,解得a=−$\frac{3}{200}$,
∴y = - $\frac{3}{200}$x².(答案不唯一)