《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

18. 数形结合思想 如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB//CD，BO = 6，CO = 8.
(1)判断△OBC的形状，并证明你的结论；
(2)求BC的长；
(3)求⊙O的半径OF的长.

答案： 解：
(1)△OBC 是直角三角形.
证明：
∵AB，BC，CD 分别与⊙O 相切于点 E，F，G，
∴∠OBE = ∠OBF = $\frac{1}{2}$∠EBF，
∠OCG = ∠OCF = $\frac{1}{2}$∠GCF，
∵AB//CD，
∴∠EBF + ∠GCF = 180°，
∴∠OBF + ∠OCF = 90°，
∴∠BOC = 90°，
∴△OBC 是直角三角形；
(2)
∵在 Rt△BOC 中，BO = 6，CO = 8，
∴BC = $\sqrt{BO^{2}+CO^{2}}$ = 10；
(3)
∵BC 与⊙O 相切于点 F，
∴OF⊥BC，
∴$\frac{1}{2}$OF·BC = $\frac{1}{2}$CO·BO，
∴OF = $\frac{BO·CO}{BC}$ = $\frac{6×8}{10}$ = 4.8.

19. 综合实践 应用意识 问题提出：(1)如图1，已知点C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC.若AB = 4，DE = 2，BD = 12，则AC + CE的最小值为 ________；
问题解决：(2)如图2，某公园规划修建一块形如四边形ABCD的牡丹园，其中AD//BC，∠A = 90°，∠C = 60°，AD = 300 m，BC = CD，在△BCD的内心O处修建一个圆形喷水池，公园的入口E是AD的中点，BE是一条观赏小道，其余部分种植牡丹，现需要在AB边上取点F，BE边上取点M，修建道路EF，FM，OM.为了节省成本，需要使修建的道路最短，即EF + FM + OM的值最小，是否存在这样的点F，M，使得EF + FM + OM的值最小？若存在，请求出其最小值；若不存在，请说明理由.

答案：
解：
(1)6$\sqrt{5}$ 提示：如图 1，连接 AE，过点 E 作 EF⊥AB 交 AB 的延长线于点 F，
∵∠D = ∠EFA = ∠FBD = 90°，
∴四边形 EFBD 是矩形，
∴EF = BD = 12，BF = DE = 2，
∴AF = 6，
∴AE = $\sqrt{AF^{2}+EF^{2}}$ = $\sqrt{6^{2}+12^{2}}$ = 6$\sqrt{5}$，
∵AC + CE≥AE，
∴AC + CE 的最小值为 6$\sqrt{5}$；

(2)存在.如图 2，作点 E 关于 AB 的对称点 E'，连接 OE'，则 EF + FM + OM = E'F + FM + OM≥OE'，
连接 DO 并延长交 BC 于点 H，
∵∠C = 60°，BC = CD，
∴△BCD 是等边三角形，
∴∠DBC = 60°，
∵O 是△BCD 的内心，
∴DH 平分∠BDC，BO 平分∠CBD，
∴DH⊥BC，∠OBC = $\frac{1}{2}$∠DBC = 30°，
∴2OH = OB，
∵AD//BC，∠BAD = 90°，
∴易知四边形 ABHD 是矩形，
∴BH = AD = 300 m，
∵OB² = OH² + BH²，
∴OB = OD = 200$\sqrt{3}$ m，
∵AE' = AE = $\frac{1}{2}$AD = 150 m，
∴DE' = 450 m，
∴OE' = $\sqrt{DE'^{2}+OD^{2}}$ = $\sqrt{450^{2}+(200$\sqrt{3}$)^{2}}$ = 50$\sqrt{129}$ (m)，
∴EF + FM + OM 的最小值为 50$\sqrt{129}$ m.

串题精练 多边形内切圆半径与面积的关系
阅读材料：如图1，△ABC的周长为l，内切圆圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积.
∵S△ABC = S△OAB + S△OBC + S△OCA，S△OAB = $\frac{1}{2}$AB·r，S△OBC = $\frac{1}{2}$BC·r，S△OCA = $\frac{1}{2}$CA·r，∴S△ABC = $\frac{1}{2}$AB·r + $\frac{1}{2}$BC·r + $\frac{1}{2}$CA·r = $\frac{1}{2}$l·r，∴r = $\frac{2S_{\triangle ABC}}{l}$，该式可作为三角形的内切圆半径公式.
理解与应用：(1)利用公式计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆的半径；
类比与推理：(2)若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆，如图2)，且面积为S四边形ABCD，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；
拓展与延伸：(3)若一个n边形(n为不小于3的正整数)存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，…，an，试猜想n边形的内切圆半径公式(不需说明理由).

答案： 解：
(1)
∵5² + 12² = 13²，
∴ 这个三角形是直角三角形.
∴ 这个三角形的面积为$\frac{1}{2}$×5×12 = 30.
设这个三角形内切圆的半径为 r，则 r = $\frac{30×2}{5 + 12 + 13}$ = 2；
(2)在题图 2 中连接 OA，OB，OC，OD，设四边形的内切圆半径为 r，则 S 四边形 ABCD = S△OAB + S△OBC + S△OCD + S△ODA，
又
∵S△OAB = $\frac{1}{2}$AB·r，S△OBC = $\frac{1}{2}$BC·r，S△OCD = $\frac{1}{2}$CD·r，S△ODA = $\frac{1}{2}$DA·r，
∴S 四边形 ABCD = $\frac{1}{2}$AB·r + $\frac{1}{2}$BC·r + $\frac{1}{2}$CD·r + $\frac{1}{2}$DA·r = $\frac{1}{2}$(AB + BC + CD + DA)·r，
即 S 四边形 ABCD = $\frac{1}{2}$(a + b + c + d)r，
∴r = $\frac{2S_{四边形 ABCD}}{a + b + c + d}$；
(3)r = $\frac{2S}{a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}$ (r 是 n 边形的内切圆半径).