《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

1. 若抛物线y=-2x²+3x-1可由抛物线y=ax²通过平移得到，则a的值是（ ）
A. 3
B. 0
C. -1
D. -2

答案： D

2. 由抛物线y=x²平移得到抛物线y=(x+3)²，则下列平移方式可行的是（ ）
A. 向上平移3个单位长度
B. 向下平移3个单位长度
C. 向左平移3个单位长度
D. 向右平移3个单位长度

答案： C

3. 如图所示的是函数y=$\frac{1}{2}$x²在平面直角坐标系中的图像。
(1)将y=$\frac{1}{2}$x²的图像向上平移2个单位长度，画出平移后的图像，并写出新图像的表达式、顶点坐标；
(2)直接写出将(1)所得的抛物线向右平移两个单位长度所得抛物线的表达式。
　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)画出平移后的图像如图所示， 由图像可知：新图像的表达式为$y=\frac{1}{2}x^{2}+2$，顶点坐标为$(0,2)$；
(2)将$y=\frac{1}{2}x^{2}+2$的图像向右平移2个单位长度，所得新抛物线的表达式为$y=\frac{1}{2}(x - 2)^{2}+2$.

4. 将抛物线y=2x²+16x-1绕顶点旋转180°后所得抛物线的表达式为____________。

答案： $y=-2x^{2}-16x - 65$

5. 较难题 如图，已知开口向下的抛物线y₁=ax²-2ax+1过点A(m,1)，与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y₁绕点C旋转180°后得到抛物线y₂，点A，B的对应点分别为点D，E。
(1)直接写出点A，C，D的坐标；
(2)当四边形ABDE是矩形时，求a的值及抛物线y₂的表达式。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)将$(m,1)$代入$y_{1}=ax^{2}-2ax + 1$得$am^{2}-2am + 1 = 1$，
解得$m_{1}=2$，$m_{2}=0$(舍去)，
$\therefore A(2,1)$，$C(0,1)$，$D(-2,1)$；
(2)$\because y_{1}=ax^{2}-2ax + 1=a(x - 1)^{2}+1 - a$，
$\therefore B(1,1 - a)$，如图，过点$B$作$BM\perp y$轴，连接$CD$，$BC$，若四边形$ABDE$为矩形，则$BC = CD$，
$\therefore BM^{2}+CM^{2}=BC^{2}=CD^{2}$，
$\because BM = 1$，$CM = 1 - a - 1=-a$，$CD = 2$，
$\therefore 1^{2}+(-a)^{2}=2^{2}$，
$\therefore a=\pm\sqrt{3}$，
$\because$抛物线$y_{1}$开口向下，
$\therefore a=-\sqrt{3}$，
$\therefore B(1,1+\sqrt{3})$，
$\because$抛物线$y_{2}$由抛物线$y_{1}$绕点$C$旋转$180^{\circ}$得到，则顶点$E(-1,1-\sqrt{3})$，
$\therefore y_{2}=\sqrt{3}(x + 1)^{2}+1-\sqrt{3}=\sqrt{3}x^{2}+2\sqrt{3}x + 1$.

6. 易错题 将抛物线y=(x-1)²-4沿直线x=$\frac{3}{2}$翻折，得到一条新抛物线，则新抛物线的表达式为__________。

答案： $y=(x - 2)^{2}-4$

7. 已知：二次函数y=-x²+bx+c的图像过点A(-1,0)和C(0,2)。
(1)求二次函数的表达式及对称轴；
(2)将二次函数y=-x²+bx+c的图像在直线y=1上方的部分沿直线y=1翻折，图像其余的部分保持不变，得到的新函数图像记为G，点M(m,y)在图像G上，且y≥0，求m的取值范围。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)把$(-1,0)$和$(0,2)$代入二次函数表达式得$\begin{cases}-1 - b + c = 0\\c = 2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}b = 1\\c = 2\end{cases}$，则二次函数表达式为$y=-x^{2}+x + 2$，
对称轴为直线$x=-\frac{1}{2\times(-1)}=\frac{1}{2}$；
(2)如图，顶点$P(\frac{1}{2},\frac{9}{4})$翻折后成为$N(\frac{1}{2},-\frac{1}{4})$，
$\therefore$翻折部分的表达式为$y=(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}$，$\because M(m,y_{1})$，$y_{1}\geq0$，
$\therefore$点$M$只能位于图像$G$在$x$轴及$x$轴上方的部分，把$y = 0$代入$y=-x^{2}+x + 2$得$-x^{2}+x + 2 = 0$，解得$x = 2$或$x=-1$，
把$y = 0$代入$y=(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}$，得$(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}=0$，解得$x = 1$或$x = 0$，
根据图像$G$，可得$m$的取值范围为$-1\leq m\leq0$或$1\leq m\leq2$.