《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

25. 将抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$向左平移$t(t＞0)$个单位长度，使之过点(2,8)，求$t$的值.

答案： 解：由题意知平移后的抛物线表达式为$y = \frac{1}{2}(x + t)^2$，
∵图像过点$(2,8)$，
∴$\frac{1}{2}(2 + t)^2 = 8$，解得$t_1 = 2$，$t_2 = - 6$，
∵$t ＞ 0$，
∴$t = 2$.

26. 已知抛物线$y=a(x - h)^2$，当$x = 2$时，函数取得最大值，则当$x$为何值时，$y$随$x$的增大而减小？

答案： 解：
∵函数$y = a(x - h)^2$有最大值，
∴该函数对应的抛物线的开口方向向下，又
∵当$x = 2$时，函数取得最大值，
∴对称轴是直线$x = 2$，
∴当$x ＞ 2$时，$y$随$x$的增大而减小.

27. 易错题 已知点$P(m,a)$是抛物线$y=a(x - 1)^2$上的点，且点$P$在第一象限内.
(1)求$m$的值；
(2)过点$P$作$PQ// x$轴交抛物线$y=a(x - 1)^2$于点$Q$，若$a$的值为3，试求点$P$，点$Q$及原点$O$围成的三角形的面积.

答案： 解：
(1)
∵点$P(m,a)$是抛物线$y = a(x - 1)^2$上的点且$a ＞ 0$，
∴$a = a(m - 1)^2$，解得$m = 2$或$m = 0$，
∵点$P$在第一象限内，
∴$m = 2$；
(2)
∵$a$的值为3，
∴二次函数的表达式为$y = 3(x - 1)^2$，点$P$的坐标为$(2,3)$，
∵$PQ// x$轴交抛物线$y = 3(x - 1)^2$于点$Q$，
∴$3 = 3(x - 1)^2$，解得$x = 2$或$x = 0$，
∴点$Q$的坐标为$(0,3)$，
∴$PQ = 2$，$OQ = 3$，
∴$S_{\triangle PQO} = \frac{1}{2}×2×3 = 3$.

28. 已知函数$y=-\frac{1}{4}x^2$，$y=-\frac{1}{4}(x + 2)^2$和$y=-\frac{1}{4}(x - 2)^2$.
(1)在同一平面直角坐标系中分别画出它们的图像；
(2)分别说出各个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)试说明分别通过怎样的平移，可以由函数$y=-\frac{1}{4}x^2$的图像得到函数$y=-\frac{1}{4}(x + 2)^2$和函数$y=-\frac{1}{4}(x - 2)^2$的图像；
(4)分别说出各个函数的性质.

答案：
解：
(1)如图所示；

(2)抛物线$y = - \frac{1}{4}x^2$的开口向下，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)$；抛物线$y = - \frac{1}{4}(x + 2)^2$的开口向下，对称轴为直线$x = - 2$，顶点坐标为$(-2,0)$；抛物线$y = - \frac{1}{4}(x - 2)^2$的开口向下，对称轴为直线$x = 2$，顶点坐标为$(2,0)$；
(3)抛物线$y = - \frac{1}{4}(x + 2)^2$由抛物线$y = - \frac{1}{4}x^2$向左平移2个单位长度得到，抛物线$y = - \frac{1}{4}(x - 2)^2$由抛物线$y = - \frac{1}{4}x^2$向右平移2个单位长度得到；
(4)$y = - \frac{1}{4}x^2$，当$x ＜ 0$时，$y$随着$x$的增大而增大，当$x ＞ 0$时，$y$随着$x$的增大而减小，当$x = 0$时，取得最大值0；$y = - \frac{1}{4}(x + 2)^2$，当$x ＜ - 2$时，$y$随着$x$的增大而增大，当$x ＞ - 2$时，$y$随着$x$的增大而减小，当$x = - 2$时，取得最大值0；$y = - \frac{1}{4}(x - 2)^2$，当$x ＜ 2$时，$y$随着$x$的增大而增大，当$x ＞ 2$时，$y$随着$x$的增大而减小，当$x = 2$时，取得最大值0.

29. 探究存在条件法几何直观 如图，二次函数$y=(x + 4)^2$的图像与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$，顶点为点$A$.
(1)求点$A$，$B$的坐标；
(2)求抛物线的对称轴；
(3)在对称轴上是否存在一点$P$，使得以$P$，$A$，$O$，$B$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： 解：
(1)由题意得$A(-4,0)$，令$x = 0$，则$y = (0 + 4)^2 = 16$，
∴点$B(0,16)$；
(2)
∵$y = (x + 4)^2$，
∴对称轴为直线$x = - 4$；
(3)存在，
∵以$P,A,O,B$为顶点的四边形为平行四边形，
∴$AP = OB = 16$，当点$P$在点$A$的上方时，点$P$的坐标为$(-4,16)$，当点$P$在点$A$的下方时，点$P$的坐标为$(-4,-16)$，综上所述，点$P$的坐标为$(-4,16)$或$(-4,-16)$时，以$P,A,O,B$为顶点的四边形为平行四边形.