《2025年全优课堂考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

18. 已知函数$y=(k - 3)x^{2}+2x + 1$的图像与$x$轴有两个交点，则$k$的取值范围是________.

答案： $k＜4$且$k\neq3$ 提示：
∵函数$y=(k - 3)x^{2}+2x + 1$的图像与x轴有两个交点，
∴令$y=0$，则$(k - 3)x^{2}+2x + 1=0$，则$b^{2}-4ac=4-4(k - 3)＞0$，且$k - 3\neq0$，解得$k＜4$且$k\neq3$.

19. 二次函数$y = 2x^{2}+mx + 8$的图像如图所示，则$m$的值是_______.

答案： 8 提示：由题图可知，抛物线与x轴只有一个交点，所以$b^{2}-4ac=m^{2}-4×2×8=0$，解得$m=\pm8$，
∵对称轴为直线$x=-\frac{m}{2×2}＜0$，
∴$m＞0$，
∴m的值为8.

20. $y = x^{2}-2x + 0.5$的图像如图所示，利用图像可得方程$x^{2}-2x + 0.5 = 0$的近似解为__________.(精确到0.1)

答案： $x_{1}\approx1.7,x_{2}\approx0.3$ 提示：
∵估计抛物线$y=x^{2}-2x + 0.5$与x轴的两个交点坐标分别约为$(0.3,0),(1.7,0)$，又
∵抛物线$y=x^{2}-2x + 0.5$与x轴的两个交点的横坐标就是方程$x^{2}-2x + 0.5=0$的两个根，
∴方程$x^{2}-2x + 0.5=0$的两个近似根是$x_{1}\approx1.7,x_{2}\approx0.3$.

21. 图像法求近似根 利用函数图像求方程$-x^{2}+2x + 2 = 0$的实数根(精确到0.1)，要先作函数_______的图像，如图所示，它与$x$轴的公共点的横坐标大约分别是-0.7，2.7，所以方程$-x^{2}+2x + 2 = 0$的实数根为$x_{1}\approx$____，$x_{2}\approx$_____.

答案： $y=-x^{2}+2x + 2$ -0.7 2.7 提示：由函数图像求方程$-x^{2}+2x + 2=0$的实数根(精确到0.1)，要先作函数$y=-x^{2}+2x + 2$的图像，它与x轴的交点的横坐标大约是-0.7,2.7，所以方程$-x^{2}+2x + 2=0$的实数根为$x_{1}\approx-0.7,x_{2}\approx2.7$.

22. 已知关于$x$的二次函数$y = - x^{2}+(k - 2)x + k$.
(1)试判断该函数的图像与$x$轴的交点的个数；
(2)当$k = 3$时，求该函数图像与$x$轴的两个交点之间的距离.

答案： 解：
(1)$\Delta=(k - 2)^{2}+4k=k^{2}+4$，
∵$k^{2}\geq0$，
∴$k^{2}+4＞0$，
∴二次函数$y=-x^{2}+(k - 2)x + k$的图像与x轴有两个交点；
(2)当$k=3$时，二次函数为$y=-x^{2}+x + 3$，令$y=0$，则$-x^{2}+x + 3=0$，解得$x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$或$x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，
∴与x轴的交点为$(\frac{1+\sqrt{13}}{2},0),(\frac{1-\sqrt{13}}{2},0)$.
∴两交点间的距离为$\frac{1+\sqrt{13}}{2}-\frac{1-\sqrt{13}}{2}=\sqrt{13}$.

23. (1)请在坐标系中画出二次函数$y = x^{2}-2x$的大致图像；
(2)根据方程的根与函数图像的关系，将方程$x^{2}-2x = 1$的根在图上近似地表示出来；(描点)
(3)观察图像，直接写出方程$x^{2}-2x = 1$的根.(精确到0.1)

答案：
解：
(1)作图如下：

(2)在图上找出当$y=1$时x的值，所得M，N两点即为所求；
(3)方程的根为-0.4,2.4.

24. 较难题 已知函数$y=(m - 1)x^{2}+x - m + 2(m$为常数$)$.
(1)求证：不论$m$为何值，该函数的图像与$x$轴总有交点；
(2)求当$m$为何值时，函数图像过原点，并指出此时函数图像与$x$轴的另一个交点；
(3)在(2)的情况下，怎样平移使得顶点落在$x$轴上？直接写出平移后图像的对称轴.

答案： 解：
(1)证明：
∵若$m=1$时，函数为一次函数，其图像与x轴有交点，若$m\neq1$时，函数为二次函数，$(m - 1)x^{2}+x - m + 2=0$，$b^{2}-4ac=1^{2}-4(m - 1)(-m + 2)=(2m - 3)^{2}\geq0$，
∴不论m为何值，该函数的图像与x轴总有交点；
(2)
∵函数$y=(m - 1)x^{2}+x - m + 2$的图像过原点，
∴$-m + 2=0$，
∴$m=2$，
∴$y=x^{2}+x$，令$y=x^{2}+x=0$，解得$x=0$或$x=-1$，
∴函数图像与x轴的另一个交点坐标为$(-1,0)$；
(3)
∵$y=x^{2}+x=(x+\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}$，
∴顶点为$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4})$，
∴函数的图像向上平移$\frac{1}{4}$个单位长度，顶点落在x轴上，平移后图像的对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$(平移方法不唯一).

25. 图解法几何直观 在求解一元二次方程$-2x^{2}+4x + 1 = 0$的两个根$x_{1}$和$x_{2}$时，某同学使用电脑软件绘制了如图所示的二次函数$y = - 2x^{2}+4x + 1$的图像，然后通过观察抛物线与$x$轴的交点，该同学得出$-1＜x_{1}＜0,2＜x_{2}＜3$的结论，该同学采用的方法体现的数学思想是 ( )

A. 类比
B. 演绎
C. 数形结合
D. 公理化

答案： C